Limita funkce

O kurzu

1. V první lekci si vysvětlíme, jak pracovat s nekonečnem. Ukážeme si, jaké výsledky dostaneme, když k nekonečnu přičteme či odečteme nějaké číslo, když nekonečno vynásobíme nebo vydělíme nějakým číslem či když nekonečno umocníme. Také si popíšeme výrazy, které nejsou definované.

2. V druhé lekci si probereme limity u polynomických funkcí a u zlomků. Budeme se zabývat případy, kdy x jde jak k plus, tak k minus nekonečnu. Spočítáme si tyto příklady:

\(\lim_{x \to \infty} \ (2x^2-3x+2)\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (\frac{x^2+2x-3}{2x^3-7x+1})\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-1})\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (\frac{\sqrt[4]{x^4-1}}{1-x})\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (2x^5-3x+2)\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (\frac{2x^3-3x+4}{x^2+5x})\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (\frac{\sqrt{4x^2+7}}{x-2})\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (\frac{x}{\sqrt{9x^2+1} +3})\)

3. Ve třetí lekci se v limitách začnou objevovat nejrůznější funkce (goniometrické, cyklometrické, expoenciální, logaritmické, ...). Limitně se x bude stále blížit k plus či minus nekonečnu:

\(\lim_{x \to \infty} \ (\frac{3cosx+1}{x})\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (\frac{ln7x}{ln2x})\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (arccotg (e^{1-x^2}))\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (arccos\sqrt{\frac{x^2}{4x^2+1}})\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (x(cosx-2))\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (\frac{2x^2+1}{x^2+2})^{-x}\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (\frac{ln(1+e^x)}{x})\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (arcsin\sqrt{\frac{3x}{4x+5}})\)

4. Ve čtvrté lekci se v limitách objeví nejrůznější funkce (goniometrické, cyklometrické, expoenciální, logaritmické, ...). Limitně se však x bude blížit ke konkrétnímu číslu:

\(\lim_{x \to 2} \ (\frac{4x}{2})\)

\(\lim_{x \to 3} \ (\frac{x^2-2x-3} {x^2-9})\)

\(\lim_{x \to 0} \ (\frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x})\)

\(\lim_{x \to 0} \ (\frac{(x+2)^2-4} {x})\)

\(\lim_{x \to 8} \ (\frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8})\)

5. V páté lekci si ukážeme jednostranné limity, které se k danému číslu blíží zprava či zleva:

\(\lim_{x \to 2^+} \ (\frac{1}{x^3-8})\)

\(\lim_{x \to 1^-} \ (\frac{x^2+3}{x-1})\)

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \ (3^{tg2x})\)

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} \ (3^{tg2x})\)

Také si ukážeme příklady vedoucí na jednostrannou limitu:

\(\lim_{x \to 0} \ (e^\frac{1-x}{x^2})\)

\(\lim_{x \to 0} \ (arccotg{\frac{x^2+1}{x^2}})\)

\(\lim_{x \to 0} \ (ln(arccotg{\frac{1}{x^2}}))\)

\(\lim_{x \to 0} \ (e^{6lnx})\)

Probereme i typy příkladů, které je nutné rozdělit na dvě jednostranné limity:

\(\lim_{x \to 0} \ (\frac{x^3-30}{x^3-3x^2})\)

\(\lim_{x \to 3} \ (\frac{x^3-30}{x^3-3x^2})\)

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ (\frac{1-2sinx}{cosx})\)