Lineární algebra II

O kurzu

1. V první lekci budeme počítat soustavy rovnic. Bude se jednat o 3 rovnice o 3 neznámých a my se je naučíme vyřešit metodami z lineární algebry. Mohou nastat celkově tři situace, a to, že soustava bude mít jedno řešení, žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení. Všechny tyto tři situace si ukážeme na těchto příkladech:

\(x+2y+3z=2\\ 2x-y+5z=-5\\ 3x+y-4z=9 \)

\(5x-y+2z=1\\ 3x+5y-z=2\\ 2x-6y+3z=4 \)

\(x+y+2z=6\\ 3x+7y-4z=16\\ x+5y-8z=4 \)

Na závěr první lekce si ještě ukážeme záludný příklad, v němž se na konci řešení vyskytuje číslo nula a vysvětlíme si, co je výsledkem takového příkladu.

2. V druhé lekci budeme probírat Frobeniovu větu. Vysvětlíme si k čemu se používá a jaký vliv má hodnost krátké a rozšířené matice na počet řešení soustavy rovnic. Budeme trénovat na těchto příkladech:

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \mid 1\\ 2 & 1 & 2 \mid 1 \\ 4 & 5 & 8 \mid 2 \\ \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \mid 0\\ 2 & -1 & 1 \mid 3 \\ 3 & 1 & -1 \mid 5 \\ \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \mid0 \\ 1 & 1 & -2 \mid0 \\ 2 & 3 & 1 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

Jako obvykle si ukážeme i příklad s parametrem a. Budeme odpovídat na otázky typu kolik řešení má soustava rovnic vzhledem k parametru a:

Pro které a soustava nemá řešení? \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \mid0 \\ 2 & -2 & a \mid a \\ 0 & 1 & 1 \mid a \\ \end{pmatrix}\)

Pro které a má soustava jedno řešení? \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \mid0 \\ 2 & 2 & a \mid a \\ 0 & 1 & 1 \mid a \\ \end{pmatrix}\)

3. Ve třetí lekci si vysvětlíme pojem homogenní soustavy rovnic. Ukážeme si, v čem se liší od obyčejných soustav rovnic a řekneme si, co je takzvané triviální řešení. Procvičíme si to na těchto příkladech:

\(-x+3y+2z=0\\ 3x+2y-3z=0\\ 3x+5y-z=0 \)

\(\begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \mid0 \\ 3 & -1 & -3 \mid0 \\ 1 & 1 & 3 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \mid0 \\ 4 & 2 & -6 \mid0 \\ 6 & 3 & -9 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

Vyzkoušíme si také příklady s parametrem a:

Pro které a má soustava jedno triviální řešení? \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2a \mid0 \\ 1 & -1 & 2 \mid0 \\ 2 & -4 & 5 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

Pro které a má soustava nekonečně mnoho řešení? \(\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2a \mid0 \\ 1 & -1 & 1 \mid0 \\ 4 & 6 & 3 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

4. Ve čtvrté lekci si probereme lineární kombinace. Vysvětlíme si, co tento pojem znamená a jak zjistit, zda je daný vektor lineární kombinací zbývajících vektorů. Ukážeme si následující příklady:

Je vektor \(\overrightarrow{v}(0,-1,3)\) lineární kombinací vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(-1,-1,2), \overrightarrow{u_{2}}(2,1,1), \overrightarrow{u_{3}}(1,0,3)\)?

Je vektor \(\overrightarrow{v}(2,1,-3)\) lineární kombinací vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(1,1,0), \overrightarrow{u_{2}}(0,1,1), \overrightarrow{u_{3}}(1,0,1)\)?

Spočítáme si i příklad s parametrem a:

Pro které a je vektor \(\overrightarrow{v}(a,3)\) lineární kombinací vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(-2,4), \overrightarrow{u_{2}}(1,-2)\)?

Pro které a je vektor \(\overrightarrow{v}(4,9,a)\) lineární kombinací vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(2,1,4), \overrightarrow{u_{2}}(-3,2,-1), \overrightarrow{u_{3}}(0,7,10)\)?

5. V páté lekci si definujeme pojem lineární obal. Naučíme se, jak určit, zda je vektor prvkem lineárního obalu skupiny vektorů či nikoliv. Spočítáme si tento příklad:

Je vektor \(\overrightarrow{v}(1,2,3)\) prvkem lineárního obalu vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(2,0,3), \overrightarrow{u_{2}}(4,1,4), \overrightarrow{u_{3}}(3,2,2)\)?

Ani tentokrát nebudou chybět příklady s parametrem a:

Pro které a je vektor \(\overrightarrow{v}(1,1)\) prvkem lineárního obalu vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(-2,3), \overrightarrow{u_{2}}(4,a)\)?

Pro které a je vektor \(\overrightarrow{v}(4,2,2)\) prvkem lineárního obalu vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(1,2,-3), \overrightarrow{u_{2}}(4,a,2a), \overrightarrow{u_{3}}(3,0,5)\)?

6. V šesté lekci budeme pokračovat v tématu lineárního obalu, kdy si vysvětlíme jak se určí dimenze lineárního obalu. Vypočítáme si tento příklad:

Jaká je dimenze lineárního obalu vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(2,-4,-1), \overrightarrow{u_{2}}(4,-6,-3), \overrightarrow{u_{3}}(1,1,-2)\)?

Následovat bude příklad s parametrem a:

Jaká je dimenze lineárního obalu vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(-2,a+3,4), \overrightarrow{u_{2}}(1,2,6+2a), \overrightarrow{u_{3}}(1,2,4)\)v závislosti na parametru a?