Slovní úlohy na extrémy

O kurzu

V tomto kurzu se podíváme na poslední látku ke zkoušce, a to na slovní úlohy na extrémy. Ukážeme si mnoho příkladů, aby vás ve zkoušce nic nezaskočilo.

1. V první lekci si popíšeme obecný princip výpočtu, jak ze slovní úlohy vyčíst funkci, nalézt její definiční obor, zderivovat a najít její extrém a nakonec případně ověřit, zda se jedná o minimum či maximum. Tento postup pak budeme aplikovat na všech dalších příkladech.

2. V druhé lekci si spočítáme úvodní příklad na nalezení extrémní hodnoty u číselných množin. Stále budeme mít na očích postup z předchozí lekce, takže jej budeme moci následovat.

Př.: Ze všech kladných čísel vyber to, jehož součet páté mocniny s převrácenou hodnotou páté mocniny bude minimální.

3. Ve třetí lekci bude zadán složitější příklad, kde bude nutné si nakreslit obrázek nejrůznějších funkcí a využít i znalosti z geometrie.

Př.: Do obrazce v prvním kvadrantu ohraničeného křivkami: \(x = 0\), \(y = 0\), \(​​y=6-x^2 \) vepiš obdélník tak, aby jeho jedna strana ležela na ose x, druhá na ose y a jeho obsah byl maximální. Jaké budou jeho rozměry?

4. Ve čtvrté lekci si spočítáme nalší cvičný příklad, ve kterém tentokrát využijeme i analytickou geometrii.

Př.: Na křivce \(y = \sqrt{3x+6}-3\) najdi bod, který je nejblíže bodu A [1,-3].

5. V páté lekci si vyzkoušíme první příklad, ve kterém bude zadána konstantní hodnota nějakého parametru, v tomto případě délky. O to bude výpočet složitější.

Př.: Je drát délky l a z části chci vytvořit čtverec a z části kružnici. Najdi půlící bod tak, aby byl součet obsahů obou obrazců minimální.

6. V šesté lekci nás čeká poslední a také nejnáročnější příklad. Opět v něm bude ukryta konstantní hodnota, tentokrát poloměr koule.

Př.: Do koule o poloměru R je vepsán válec. Urči výšku válce, aby byl povrch jeho pláště maximální.