Aplikace integrace I

O kurzu

Tenhle kurz je základ pro počítání jakékoli aplikace integrace. Zaměříme se v něm na obsah obrazce ohraničeného nejrůznějšími křivkami. A právě tohle bývá u většiny studentů kámen úrazu. Zadaný obrazec si vůbec nakreslit. No a bez obrázku nespočítáme vůbec nic. Proto jsem hned na začátek kurzu dala opakovací lekci, kde si stručně a přehledně zopakujeme veškeré křivky, které vás tam mohou potkat. Zavzpomínáme, jaký graf má lineární, kvadratická, exponenciální, logaritmická a bůhví jaká ještě funkce. Poté už se vrhneme na reálné příklady, na kterých si vysvětlíme, jak z namalovaného obrazce vyčteme meze a integrované funkce. Pak už nezbývá nic jednoduššího, než integrál vypočítat a dostat konkrétní číslo, které představuje obsah plochy daného obrazce. Na závěr si ukážeme i záludný příklad s parametrem, který se na cvičeních moc neukazuje, ale v zápočtu se objevit může. Tak hurá do toho!

1. V první lekci si nakreslíme ilustrační obrázek a vysvětlíme si na něm princip výpočtu obsahu pomocí integrálu. Ukážeme si, jak z obrázku vyčíst meze a jak poznat, které funkce zintegrovat. Také si na jednoduchém příkladu obdélníka dokážeme, že integrálem se skutečně dá vypočítat obsah obrazce.

2. V druhé lekci si pro jistotu zopakujeme, jak se kreslí které křivky. Sice už tohle vše známe z matematiky 1, ale opakování není nikdy dost. Bude to jen stručné připomenutí toho, jak načrtnout grafy těchto funkcí:

\(y = x\)

\(y = č\)

\(x = č\)

\(y = x^n \)

\(y={\sqrt[n]{x}}\)

\(y= \frac{1}{x^n} \)

\(y = a^x \)

\(y = log_ax \)

3. V třetí lekci se konečně dostaneme k opravdovému příkladu, jehož zadání zní: vypočítej obsah obrazce, který je ohraničen křivkami:

\(y = 5+4x-x^2, y=0\)

4. Ve čtvrté lekci si opět ukážeme příklad na výpočet obrazce omezeného danými křivkami. Tentokrát už jich však bude víc, budeme muset načrtnout dokonce 4 křivky:

\(y = -x, y=x+3, x=0, x=2\)

5. V páté lekci si spočítáme další příklad na obsah obrazce, tentokrát budeme mít zadanou parabolu, hyperbolu a přímku. Jaký tvar obrazce nám tedy v tomto příkladě vznikne?

\(y=x^2, y= \frac{1}{x} , x=2\)

6. V šesté lekci si ukážeme, jak se výpočet liší, když nemáme obrazec zadaný jednotlivými křivkami, ale soustavou nerovnic. Popíšeme si, jak si jednoduše převést nerovnice na rovnice, a pak už bude kreslení snadné.

\(\frac{1}{2} \leq y\leq sinx, 0 < x < \pi\)

7. V sedmé lekci si vypočítáme další příklad, který bude zadaný soustavou nerovnic a zároveň si při tom zopakujeme, jak vypadá graf odmocninové paraboly. Vysvětlíme si také, proč zrovna tento příklad nejde vypočítat najednou, ale musíme počítat obsahy rovnou dva.

\(y ​​\leq \sqrt{x}, y ​​\leq \sqrt{1-x}, y \geq 0\)

8. V osmé lekci se podíváme na ten samý příklad jako v předchozí lekci s tím rozdílem, že si na něm ukážeme, jak v integrálu otočit meze. Nebudeme tedy integrovat klasicky podle dx ale podle dy. Bude to opravdu celé přetočené, tak dávejte dobrý pozor!

9. V deváté lekci se mrkneme na poslední záhadný příklad obsahujíc parametr. Na rozdíl od všech ostatních příkladů tentokrát nebudeme hledat obsah obrazce, jelikož ten dostaneme zadaný, ale budeme se snažit najít přesný předpis křivky - konkrétně hodnotu parametru a.

\(y =x, y= \sqrt{ax}, S=6\)