Aplikace integrace II

O kurzu

Pořád pokračujeme v aplikaci integrace, neboli "na co se dá to integrování vůbec použít". V tomhle kurzu se naučíme počítat objemy těles, které vzniknou rotací buď kolem osy x nebo kolem osy y. Oba vzorce se naštěstí vyskytují v oficiálním taháku, ale i tak nám mohou dát příklady pořádně zabrat. Opět si budeme muset umět nakreslit obrázek, ale ukážeme si i příklady, kde můžeme kreslení vynechat a rovnou ze zadání vyčíst, co doplnit do integrálu.

Naučím vás, kdy to můžeme takhle lajdácky zjednodušit a kdy se naopak obrázku nevyhneme. Spočítáme si spoustu zajímavých i záludných příkladů, které se mohou objevit v 2. zápočtovém testu. Po tom, co absolvujete tenhle kurz, už by vás ve výpočtu objemu nemělo nic zaskočit. Pojďme tedy na to!

1. V první lekci si ukážeme obrázek libovolného obrazce, který když začne rotovat kolem osy x, nebo kolem osy y, může tím vytvořit rotační těleso. A právě objem takto vzniklého tělesa se v tomto kurzu naučíme vypočítat. V této lekci si vysvětlíme princip výpočtu a ukážeme si i oba dva vzorce z oficiálního taháku.

2. V druhé lekci se pokusíme vypočítat objem tělesa, které vznikne rotací kolem osy x a je dáno následujícími nerovnicemi:

\(0 \leq y\leq \frac{\sqrt{lnx}}{x^2}, 1 \leq x \leq e\)

3. V třetí lekci se podíváme na příklad, který je velmi podobný tomu předchozímu. Opět máme za úkol vypočítat objem tělesa, které vznikne rotací kolem osy x a i nerovnice jsou velmi podobné. Zkuste si tento příklad sami a ve videu zkontrolujte, jestli jsme došli ke stejnému výsledku.

\(0 \leq y\leq \frac{\sqrt{ln\frac{x}{2}}}{x}, 2 \leq x \leq 2e\)

4. Ve čtvrté lekci si spočítáme poslední příklad na objem kolem osy x a tentokrát v nerovnicích bude zařazena goniometrická funkce. Věřím, že si s tím lehce poradíte.

\(0 \leq y\leq sin^2x, 0 \leq x \leq \pi\)

5. V páté lekci si vyzkoušíme nějaké výpočty na objem kolem osy y, takže budeme nuceni použít jiný vzorec než v předchozích příkladech. Ten ale máme v oficiálním taháku, takže by to neměl být žádný problém.

\(y=arccotgx, y=0, x=0, x=1\)

6. V šesté lekci si vypočítáme už úplně poslední příklad, jehož zadání po nás vyžaduje spočítat objem tělesa, které vznikne rotací kolem osy y. Zadání není dáno nerovnicemi, takže bude potřeba nakreslit si obrázek a z něj vyčíst potřebné údaje.

\(y=arctgx^2, y=\frac{\pi}{4}\)