Diferenciální rovnice I

O kurzu

Všechny tři zápočty máte úspěšně za sebou a teď už jen zbývá připravit se ke zkoušce. Ve zkouškovým testu se kromě toho všeho, co jsme probrali doposud, objevují i diferenciální rovnice. Většinou se na cvičeních moc nestíhají probírat, protože už se blíží konec semestru, a tak v nich má spousta studentů zmatek. To ale jednoduše napravíme v tomhle kurzu, kde si vysvětlíme, jak spočítat separaci proměnných a homogenní diferenciální rovnice. Ve videích budu postupovat pomalu a polopaticky, takže to určitě zvládnete úplně všichni! 

1. V první lekci si probereme princip výpočtu u diferenciálních rovnic typu separace proměnných. Ukážeme si jednotlivé kroky, jak postupovat a v následujících lekcích si spočteme spousty příkladů, jelikož separace proměnných je nejdůležitější ze všech typů rovnic. Je to základní princip, bez kterého se neobejdeme u ostatních diferenciálních rovnic.

2. V druhé lekci se podíváme na první příklad, kdy budeme následovat postup z předchozí lekce a krok po kroku se postupně dobereme ke správnému výsledku.

\(y´=\frac{1}{x^2}\)

3. V třetí lekci si vypočítáme další dva příklady na separaci proměnných:

\(y´=3y^\frac{2}{3}\)

\(y´=3x^2y^2\)

4. Ve čtvrté lekci se začneme zabývat složitějším příkladem, kde se vyskytne i goniometrická funkce cosx:

\(y´=y.cosx\)

5. V páté lekci zůstaneme u příkladu z předchozí lekce s tím, že budeme mít navíc zadanou podmínku. V takovém případě bude příklad nazván tzv. Cauchyho úlohou a my si zde vysvětlíme princip dosazení podmínky.

\(y´=y.cosx, y(\pi)=1\)

6. V šesté lekci si spočteme další Cauchyho úlohu neboli diferenciální rovnici s podmínkou.

\(y´x=(1+y^2)arctgy, y(\frac{\pi}{3})=1\)

7. V sedmé lekci budeme opět počítat příklad s podmínkou, v kterém se navíc vyskytne odmocnina a neoblíbené Eulerovo číslo.

\(y´\sqrt{1-x^2}=xy, [0,\frac{1}{e}]\)

8. V osmé lekci na nás čeká poslední úloha na separaci proměnných, v které se nyní objeví logaritmus a nakonec budeme opět muset použít i zadaný bod.

\(ylny+xy´=0, [1,e]\)

9. V deváté lekci si představíme další typ diferenciálních rovnic, a to rovnice homogenní. V této lekci si detailně popíšeme, jak tuto rovnici poznat a jaký postup pak zvolit při výpočtu. Tyto rovnice se naštěstí zas až tak často nevyskytují, takže si probereme jen pár příkladů.

10. V desáté lekci se pustíme do prvního příkladu na homogenní rovnice. Nahradíme zlomek další proměnnou u a dále budeme pokračovat dle postupu z předchozí lekce.

\(y´= 1+\frac{y}{x}\)

11. V jedenácté lekci se podíváme na další příklad na homogenní diferenciální rovnice, který bude zase o kousek složitější než ten minulý.

\(y´= \frac{y^2}{x^2(\frac{y}{x}-1)}\)

12. Ve dvanácté lekci nás čeká závěrečný příklad z balíčku homogenních rovnic a tím úspěšně zakončíme celý tento kurz. V dalším kurzu nás pak budou čekat další dva typy diferenciálních rovnic.

\(xy´-y= tg(\frac{y}{x})\)