Diferenciální rovnice II

O kurzu

A je tady úplně poslední věc, kterou se ke zkoušce musíte naučit. V předchozím kurzu jsme si ukázali první dva typy diferenciálních rovnic, nyní nás čekají další dva typy - rovnice lineární a exaktní, a tím máme toto téma za sebou. Opět se nejedná o nic složitého, jen je nutné dodržovat určité kroky, které jdou logicky za sebou a nemít v tom zmatek, s kterým často studenti odchází ze cvičení. Takže jako vždy, půjdeme na to pomalu, systematicky a spočítáme si spoustu příkladů, aby se vám postupy vryly do paměti a na zkoušce to vyšvihnete jedna báseň!

1. V první lekci si probereme princip výpočtu lineárních diferenciálních rovnic. Ukážeme si 3 zásadní kroky, kde v prvním se naučíme určit homogenní řešení, v druhém kroku partikulární a v posledním kroku celkové řešení. Je to složitější typ příkladu, ale s touto "kuchařkou" to určitě zvládnete.

2. V druhé lekci se podíváme na první příklad. Budeme krok po kroku následovat postup z první lekce až se dopracujeme ke správnému výsledku.

\(y´-\frac{y}{x}=-lnx\)

3. V třetí lekci si vypočítáme další příklad na lineární diferenciální rovnici. Tentokrát se nám tam zamotají i goniometrické vzorce.

\(y´-ytgx=cosx\)

4. Ve čtvrté lekci nás čeká další příklad na lineární rovnice, který je zase o kousek náročnější než ten předchozí. 

\(y´-\frac{y}{2(x+1)}=e^x\sqrt{x+1}, y(3)=e^3\)

5. V páté lekci zůstaneme u příkladu z minulého videa, akorát k němu přidáme podmínku a budeme řešit tzv. Cauchyho úlohu. Oproti minulé lekci už to nebude nic těžkého, pouze do výsledku dosadíme zadanou podmínku.

\(y´-\frac{y}{2(x+1)}=e^x\sqrt{x+1}, y(3)=e^3\)

6. V šesté lekci se přesuneme k dalšímu typu diferenciálních rovnic, a to k rovnicím exaktním. Opět si vysvětlíme princip výpočtu, jak v zadání nalézt polynomy M a N, osvěžíme si parciální derivace až nakonec opět skončíme u integrování.

7. V sedmé lekci si vyzkoušíme první příklad na exaktní diferenciální rovnici, který obsahuje jednoduché funkce a měli bychom si na něm zopakovat vysvětlený postup.

\(2x+3y+(3x-4y)y´=0\)

8. V osmé lekci si zadáme opravdu složitý příklad, který je v principu stejný jako předchozí, ale dost nás tam potrápí zadané polynomy. Kromě logaritmů se tam vyskytnou i exponenciální funkce a my si budeme muset vzpomenout, jak se derivují a jak integrují.

\(1+yx^{y-1}+y´x^ylnx=0, y(2)=1\)

9. V deváté lekci se podíváme na takový oddechovější příklad na závěr, nicméně stále musíme být na pozoru u derivování a integrování goniometrických funkcí a hlavně si dávat bacha na znaménka.

\(cosy+ycosx+(sinx-xsiny)y´=0\)