Gradient a směrová derivace

O kurzu

Máme tady další důležitý kurz. Konečně začneme ty parciální derivace z minulého kurzu využívat ke konkrétním příkladům.

Na začátku kurzu se naučíme, co je to gradient a jak ho vypočítat. Budeme ho totiž potřebovat nejen ke směrové derivaci, které věnuju druhou polovinu kurzu, ale taky ke spoustě dalším výpočtům z následujících kurzů. Gradient tedy nebude nic těžkého, horší to bude se směrovou derivací.

Ta se velmi často objevuje v zápočtu a taky ve zkoušce, takže vás s velkou pravděpodobností nemine a budete ji tak muset znát. Ukážeme si, že když se naučíme správný postup, není to nic těžkého a určitě to hezky zvládnete!

1. V první lekci si řekneme, co je to gradient a jak jej vypočítat. Zjistíme, že to není nic těžkého a že k tomu budeme potřebovat pouze parciální derivace. Zkusíme si úvodní příklad:

\(f(x,y,z)=3x^2y-2xz+z^2y-4x, C [-1,0,1]\)

2. V druhé lekci si protrénujeme výpočet gradientu, tentokrát už s mírně komplikovanější funkcí. Postup však bude stále stejný:

\(f(x,y)=arcsin\frac{x}{x+y}, C [1,1]\)

3. V třetí lekci si vysvětlíme princip výpočtu směrové derivace. Ukážeme si, co se s čím násobí a jaký výsledek máme očekávat. Dílčí části výpočtu, jako třeba výpočet velikosti vektoru nebo třeba skalární součin dvou vektorů, si ukážeme na těchto příkladech:

\(​​\overrightarrow{v} (3,1,-1)\)

\(​​\overrightarrow{a} (1,0,3), ​​\overrightarrow{b} (-2,1,0)\)

4. Ve čtvrté lekci se podíváme na první opravdový příklad na výpočet směrové derivace. Ukážeme si, jak postupovat krok po kroku, abychom došli ke správnému výsledku.

\(f(x,y)=3x^2-4xy+5y^3-1, C [2,1], \overrightarrow{u} (3,-2)\)

5. V páté lekci si procvičíme výpočet směrové derivace na dalším příkladu, tentokrát však budeme mít o jednu proměnnou více. Co přesně se ve výpočtu změní se dozvíme v této lekci.

\(f(x,y,z)=3x^2yz+4xy^2z+5xyz^2, C [1,1,1], \overrightarrow{u} (6,-6,3)\)

6. V šesté lekci si spočteme už poslední klasický příklad na směrovou derivaci, kde máme zadané všechny tři parametry, které k výpočtu potřebujeme, a to funkci, bod a směrový vektor.

\(f(x,y,z)=x.arcsin\frac{y}{z}, C [3,-1,2], \overrightarrow{u} (2,1,-2)\)

7. V sedmé lekci začne jít do tuhého a v zadání nám budou chybět některé parametry, konkrétně pak vektor u, který je v tomto příkladě směrovým vektorem tečny ke kružnici k sestrojené v jejím bodě C.

\(f(x,y)=arctg\frac{y}{x}, C [\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}], \overrightarrow{u}...k: x^2+y^2-2x=0, (u_2>0)\)

8. V osmé lekci si vyzkoušíme další příklad, kde bude chybět směrový vektor u. Ten je nyní tečným vektorem paraboly p v jejím bodě C.

\(f(x,y)=ln(x+y), C [1,2], \overrightarrow{u}...p: y^2=4x, (u_1<0)\)

9. V deváté lekci se objeví další zajímavé zadání. Opět nebudou dány konkrétní souřadnice vektoru u. Bude pouze dáno, že vektor u je vektor, v jehož směru je derivace maximální

\(f(x,y,z)=\frac{z}{x^2+y^2}, C [1,0,2], \overrightarrow{u}...max\)

10. V desáté lekci si spočteme podobný příklad, avšak tentokrát má být u vektor, v jehož směru je derivace minimální.

\(f(x,y)=\sqrt{4+x^2+y^2}, C [2,1], \overrightarrow{u}...min\)