Integrace - parciální zlomky

O kurzu

Parciální zlomky - další poměrně neoblíbená metoda při výpočtu integrálů. Není zas až tak důležitá jako předchozí substituce, nicméně nespoléhala bych na to, že se v testu neobjeví. Dost často ji tam totiž studenti najdou a pak neví, co dělat. Ve skutečnosti je ale tahle metoda poměrně jednoduchá. Má sice delší postup a člověk si trošku musí zapamatovat, jak jdou jednotlivé kroky za sebou, ale jakmile toto budete umět, nemůžete udělat chybu. Budete jen následovat postup krok po kroku až se dostanete ke konečnému výsledku. Zdlouhavé, ale nenáročné. Tak se do toho pojďme pustit!

1. V první lekci si vysvětlíme, kdy je tuto metodu vhodné použít a kdy nikoliv. Ukážeme si spoustu příkladů a postupně si budeme vysvětlovat, jaká metoda se pro výpočet hodí. Bude to v podstatě mírné opakování toho, co jsme se již naučili a zároveň narazíme i na příklady, které zatím nejsme schopni vypočítat a budou se řešit právě pomocí parciálních zlomků.

\(\int 4x^2 dx\)

\(\int \frac{x^3}{5} dx\)

\(\int \frac{6}{x+2} dx\)

\(\int \frac{3}{1+x^2} dx\)

\(\int \frac{x^3-4x^2}{x+1} dx\)

2. V druhé lekci si napíšeme podrobné schéma výpočtu při používání metody parciálních zlomků. Tato lekce bude obsahovat opravdovou kuchařku s postupem, co a v které fázi výpočtu dělat. Doporučuji si tedy postup někam zapsat a postupem času zapamatovat, ať vždy víte, jak pokračovat.

3. V třetí lekci si osvěžíme dělení zlomků beze zbytku a se zbytkem. Je to taková vložená, opakovací lekce, takže kdo dělit umí, tuto lekci klidně může přeskočit. Dělení si zopakujeme na těchto příkladech:

\((2x^4 - 3x^3 +x^2 -3x -1) : (x^2 +1)=\)

\((x^3 - 5x^2 +5x -2) : (x-4)=\)

4. Ve čtvrté lekci se konečně podíváme na první úvodní příklad, na kterém si potvrdíme platnost našeho postupu. Budeme postupovat opravdu krok za krokem, tak jak jsme si napsali ve 2. lekci a ověříme si, že tento postup skutečně funguje a dovede nás ke správnému výsledku.

\(\int \frac{x+7}{x^2-2x-3} dx\)

5. V páté lekci si spočítáme další příklad, kdy už budeme mít postup výpočtu více zažitý, a tak jej využijeme k lehkému tréninku.

\(\int \frac{x^4-8x^2+3}{x^2-5x+6} dx\)

6. V šesté lekci budeme opět trénovat výpočet pomocí parciálních zlomků, avšak novinka bude v tom, že se nám tam v průběhu výpočtu objeví jedna ze specialitek, které jsme se naučili v jednom z prvních kurzů.

\(\int \frac{x^4+3x^3-3x^2+4x-4}{x^2+1} dx\)

7. V sedmé lekci si ukážeme, že u některých typů příkladů je při rozkladu na parciální zlomky nutno napsat u některých z nich do čitatele i derivaci jmenovatele. Ano zní to prapodivně, ale z videa to určitě pochopíte!

\(\int \frac{x^3+1}{x^3-x^2} dx\)

8. V osmé lekci si probereme další příklad s derivací jmenovatele v čitateli. Už to bude určitě pochopitelnější než v předchozím případě.

\(\int \frac{1}{x^4-9x^2} dx\)

9. V deváté lekci si zkusíme poslední příklad, kdy se v čitateli opět objeví derivace jmenovatele. Budeme postupovat stále stejným způsobem, jen to potrénujeme na dalším příkladu:

\(\int \frac{3x-2}{x^3+x} dx\)

10. V desáté lekci budeme řešit úplně stejný příklad jako v předchozí lekci, s tím rozdílem, že koeficienty A, B a C se naučíme vypočítat jiným způsobem, než jsme to dělali doposud. Potom si můžete vybrat, který způsob bude lépe vyhovovat právě vám.

\(\int \frac{3x-2}{x^3+x} dx\)

11. V jedenácté lekci se podíváme na hodně složitý příklad, který obsahuje ne moc často používaný vzorec. Proto si tenhle vzorec osvěžíme a pak už nám bude vše ostatní jasné.

\(\int \frac{x}{x^3-1} dx\)