Integrace - substituce

O kurzu

Substituční metoda. Jedna z nejvíce nepochopitelných metod, kterou studenti většinou nemají rádi. Taky nikdy nevíte, kdy psát do příkladu x a kdy t a kdy se to pak zase vrací? Tápete v tom, jakou část příkladu vybrat do substituce právě za to písmenko t? Tak v tom případě je tenhle kurz právě pro vás! Úplně polopaticky si v něm vysvětlíme, v jakých případech a co volit jako substituci za t, jak pak správně nahradit to záhadné dx a nakonec v příkladě dostat dt. Uznávám, že je tahle metoda trošku matoucí, ale po shlédnutí tohohle kurzu už v ní budete mít určitě jasno.

1. V první lekci si vysvětlíme, kdy a jak tuto metodu použít. Na názorném schématu si ukážeme, jak výpočet postupuje od toho, že si do tabulky vyplníme co za co substituujeme, doplníme to do příkladu a nakonec se zase do substituce vrátíme. Zní to složitě, ale díky jednoduchému schématu to rychle pochopíte.

2. V druhé lekci si ukážeme první úvodní příklad, kdy na tabuli bude ponechané schéma z předchozí lekce a my jej tak budeme následovat krok po kroku, až dospějeme ke správnému výsledku.

\(\int cos(5x-3) dx\)

3. V třetí lekci si probereme příklady, kdy v zadání budou složené funkce obsahující vždy funkci lineární. Budou to vlastně takové zahřívací příklady, kde nebude co poplést.

\(\int (2x-3)^{10} dx\)

\(\int \frac{1}{\sqrt[3]{6x+2}} dx\)

\(\int e^{7x} dx\)

4. Ve čtvrté lekci si poprvé ukážeme podivnou věc, které přezdívám bublina. Napomůže nám k tomu, abychom věděli, co nahradit za písmenko t a později uměli substituovat i to podivné dx za nové dt.

\(\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} dx\)

5. V páté lekci budeme pokračovat v bublinách. Zatím se zaměříme na příklady, které obsahují nějaké x na ntou a tím pro nás bude o dost jednodušší určit, kterou část příkladu zvolíme za t a která nám naopak zůstane do bubliny.

\(\int 3x.e^{1-9x^2} dx\)

\(\int \frac{x^3}{sin^2(x^4)} dx\)

6. V šesté lekci stále pokračujeme v bublinách, ale už se složitějšími příklady, které budou obsahovat nějaké goniometrické funkce. Musíme si tedy uvědomit, která funkce je derivací které, což nám vždy pomůže při výběru substituované části příkladu.

\(\int cotgx dx\)

\(\int \frac{sinx}{\sqrt{cos^3x}} dx\)

7. V sedmé lekci si prozradíme, že bubliny nemusí vznikat jen v horním řádku, ale taky dole ve jmenovateli. Záleží totiž na tom, jaký výraz nám vznikne derivací. Tzv, spodní bublinu si ukážeme na těchto příkladech:

\(\int \frac{ln^3x-lnx}{x} dx\)

\(\int \frac{tg^3x}{cos^2x} dx\)

8. V osmé lekci jsme již zkušení substituční počtáři a můžeme se tak vrhnout na nějaké složitější příklady. Různé fígle a triky si ukážeme na následujících příkladech:

\(\int \frac{e^x}{1+e^{2x}} dx\)

\(\int \frac{x}{\sqrt{4-5x^4}} dx\)

9. V deváté lekci jsme už mistry substituce a můžeme se tak podívat na ten nejsložitější příklad. Jak se říká, to nejlepší nakonec. A to nás čeká právě u tohoto příkladu:

\(\int x^3.e^{-x^2} dx\)