Lokální extrémy

O kurzu

V tomto kurzu se zaměříme na výpočet lokálních extrémů. Tento typ příkladů se vyskytuje v zápočtu a většinou je oceněn 8 body, protože je výpočet poněkud zdlouhavější. Na druhou stranu není až tak složitý.

Stačí si vypočítat parciální derivace druhých řádů, poskládat je do matice a vypočítat determinanty. Jo, všechny tyhle prapodivný slova si vysvětlíme a hlavně se je naučíme spočítat. Ukážu vám i několik triků, jak si snadněji zapamatovat uspořádání do matice a nějaké další věci, co musí člověk umět zpaměti. Vyzkoušíme si opravdu spoustu příkladů, takže v testu už by vás nemělo nic zaskočit. 

1. V první lekci si polopaticky ukážeme, jak vypočítat lokální extrémy u funkcí dvou proměnných. Zopakujeme si u toho parciální derivace vyšších řádů a také to, jak se pak výsledky zapisují do matice. Vysvětlíme si, jak vypočítat jednotlivé determinanty a jak jejich hodnoty, podle toho, zda jsou kladné či záporné, ovlivňují finální výsledek.

2. V druhé lekci se opět budeme věnovat teorii. Tentokrát si vysvětlíme princip výpočtu lokálních extrémů u funkcí tří proměnných. Budeme tedy muset spočítat víc parciálních derivací a i matice bude větší. Budeme mít také více determinantů a o to víc kombinací, co se může stát, když budou jednotlivé determinanty kladné nebo záporné.

3. V třetí lekci se konečně pustíme do reálného příkladu. Bude zadaná funkce dvou proměnných a naším úkolem bude zjistit, jaké jsou její lokální extrémy.

\(f(x,y)=3x+6y-x^2-xy-y^2\)

4. Ve čtvrté lekci se setkáme už s těžším příkladem obsahujícím přirozený logaritmus. To nás ale nezastraší, protože princip výpočtu je stále stejný jako v předchozí lekci.

\(f(x,y)=lnx+lny+ln(1-x-y)\)

5. V páté lekci si vyzkoušíme další příklad na hledání lokálních extrémů. U zadané funkce nás opět bude zajímat, zda má lokální minimum, maximum nebo třeba sedlový bod.

\(f(x,y)=8x^3+y^3-12xy+4\)

6. V šesté lekci si naposledy protrénujeme výpočet lokálních extrémů u funkce dvou proměnných. Ukážeme si také, jak se změní matice po dosazení různých bodů.

\(f(x,y)=1-(2x-y+1)^2\)

7. V sedmé lekci si spočteme příklad na lokální extrémy, tentokrát ale u funkce tří proměnných, což s sebou přináší více derivování a také větší matici. Jak si s tím poradit si ukážeme na tomto příkladu:

\(f(x,y,z)=2x^2+y^2+2z-xy-xz\)

8. V osmé lekci si na závěr vypočítáme příklad opět se třemi proměnnými. Princip bude stejný jako v předchozí lekci, ale uvidíte, že nějaká věc tam bude zase navíc.

\(f(x,y,z)=3lnx-x+lny^2+y+2z^3+3z^2-12z\)