Určitá integrace

O kurzu

Tento kurz bude opravdu plný informací. Budeme se stále věnovat integrálům, ale bude tady jedna podstatná změna, a to ta, že poté co zintegrujeme, musíme do výsledku dosadit zadané meze a vyjde nám konkrétní číslo. Jak, co a kdy do čeho dosadit si prozradíme hned na začátku. Tuhle dovednost budete potřebovat ve všech dalších kurzech s názvem aplikace integrace, kde budeme počítat obsahy, objemy, těžiště, atd., což jsou všechno příklady vyskytující se v 2. zápočtovém testu. Součástí tohoto kurzu je taky nevlastní integrál, který obsahuje nekonečno a v zápočtu se s ním taky můžete setkat. Na závěr si probereme hodně zajímavou věc - konvergenci integrálů. Ta často dělá studentům problémy, ale já vás zase naučím nějaké vychytávky, které vám pomůžou i tenhle typ příkladů zdolat!

1. V první lekci si vysvětlíme, jaký je rozdíl mezi určitým a neurčitým integrálem. Ukážeme si, jak v příkladu pracovat s malými čísly, která jsou u integrálu a že narozdíl od příkladů, které jsme počítali doposud, bude výsledkem konkrétní číslo.

\(\int_1^2 x^2 dx\)

2. V druhé lekci už rozumíme principu určité integrace a můžeme si tedy vypočítat pár cvičných základních příkladů. Zopakujeme si tím i použití oficiálního taháku a metodu per partes.

\(\int_{-\sqrt{3}}^1 \frac{1}{1+x^2} dx\)

\(\int_\pi^{2\pi} x.sin(\frac{x}{2}) dx\)

3. V třetí lekci budeme i nadále trénovat určité integrály, příklady už ale budou o něco málo složitější. Opět si procvičíme nějaké integrační metody a na závěr do výsledku dosadíme meze.

\(\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx\)

\(\int_{-3}^{3} ln(x^2+9) dx\)

4. Ve čtvrté lekci si vysvětlíme, jak se řeší určitá integrace u příkladů, kde je k výpočtu nutné použít substituční metodu. Narozdíl od ostatních metod je totiž u substituce nutné dávat si velký pozor na zadané meze, které se nám mohou substitucí měnit!

\(\int_{\pi/2}^{\pi} sin^3x.cosx dx\)

5. V páté lekci si spočítáme nějaké příklady, kde je nutné použít substituci. Ukážeme si i různé způsoby, jak příklad dokončit. Buď se můžeme vrátit do substituce, nebo si naopak přepočítat meze. Výběr té či oné varianty nechám na vás.

\(\int_{e}^{e^3} \frac{1}{xlnx} dx\)

\(\int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1}{sinx} dx\)

6. V šesté lekci si spočítáme poslední příklad na určitou integraci obsahující výpočet substituční metodou. Snad se vám jej podaří správně vyřešit!

\(\int_{0}^{1/2} arccosx dx\)

7. V sedmé lekci si popíšeme úplně novou věc, a tou je nevlastní integrál. Je to v podstatě určitý integrál, který v sobě má nekonečno. Lehce si zopakujeme i práci s nekonečnem, co jsme se učili i u limit v matematice 1, protože nyní to budeme opět potřebovat.

\(\int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)

\(\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx\)

\(\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+x+1} dx\)

8. V osmé lekci si dáme ještě jeden příklad na nevlastní integrál, tentokrát už však bude náročnější a budeme muset použít jednu z integračních metod. Poznáte takhle ze zadání kterou?

\(\int_1^\infty \frac{arctgx}{x^2} dx\)

9. V deváté lekci se posuneme k tématu s názvem konvergence integrálu. Vysvětlíme si, co tento pojem znamená a jak postupovat při výpočtech. Vše si názorně ukážeme na tomto příkladu:

\(\int_1^\infty {x^{p+\frac{1}{2}}} dx\)

10. V desáté lekci si vyzkoušíme další dva příklady na konvergenci integrálu. Narozdíl od úvodního příkladu tam budou potřeba ještě nějaké úpravy. Taky si povíme trik, jak si snadno zapamatovat, kdy integrál konverguje neboli kdy je konečný.

\(\int_0^1 \frac{\sqrt[3]{x}}{x^p} dx\)

\(\int_0^{10} \frac{\sqrt[3]{x}}{x^{2p-1}} dx\)

11. V jedenácté lekci se dostáváme do finále, a to k výpočtu konvergence integrálu současně s použitím substituční metody. Bude to už dost zamotané, ale já věřím, že to úspěšně zvládnete!

\(\int_1^{\infty} \frac{\sqrt[6]{x}}{x^{1-4p}} dx\)

\(\int_e^{\infty} \frac{1}{xln^px} dx\)