Vázané extrémy

O kurzu

Vázané extrémy už jsou o něco složitější než ty lokální, a proto se povětšinou vyskytují až ve zkoušce, i když potkat je můžete i u zápočtu.

Existují dokonce dvě metody výpočtu - pomocí Lagrangeovy funkce nebo redukce neznámých na pouze 1 proměnnou. Ukážeme si oba tyto způsoby a vypočítáme si několik cvičných příkladů. Tyto výpočty už jsou poměrně složité, následují určitý postup, který vám krok po kroku napíšu a ujasním. Jejich složitost je však vyrovnaná tím, že za ně dostanete dost bodů, takže určitě stojí za to, se to naučit. Není se tedy čeho bát, i toto téma spolu nakonec úspěšně zvládneme!

1. V první lekci si ukážeme princip, jak vypočítat vázaný extrém vzhledem k zadané množině M. Existují dokonce dva způsoby, jak toto vypočítat a my si nyní ukážeme ten první - pomocí Lagrangeovy funkce. To znamená, že si vytvoříme novou funkci L(x,y), kterou budeme derivovat a následně dosazovat do množiny M, abychom našli podezřelý bod. Je to takový složitější postup na zapamatování, ale určitě to spolu zvládneme.

2. V druhé lekci si rovnou vyzkoušíme výpočet pomocí Lagrangeovy funkce, dokud to máme v čerstvé paměti z předchozí lekce. Budeme následovat postup krok po kroku až dospějeme ke správnému výsledku.

\(f(x,y)=x^2+y^2, M: 2x-y+5=0\)

3. V třetí lekci se vrátíme k teorii a vysvětlíme si druhý způsob, kterým lze vypočítat vázaný extrém. Je to pomocí tzv. redukce proměnných, kdy z funkce 2 proměnných uděláme funkci pouze 1 proměnné. Pak už se udělají jen první a druhá derivace a výsledek je na světe. Je to o poznání jednodušší metoda, která ale ovšem nelze použít na každý příklad.

4. Ve čtvrté lekci se pokusíme spočítat úvodní příklad pomocí toho druhého způsobu, který jsme si teoreticky vysvětlili v předchozí lekci. Uvidíte, o kolik kratší a jednodušší tenhle příklad bude.

\(f(x,y)=x^2+y^2, M: 2x-y+5=0\)

5. V páté lekci budeme trénovat výpočet vázaných extrémů. Nebudu už říkat, kterým způsobem příklad počítat. Můžete si sami vybrat, jak to chcete dělat, ale pozor, ne vždy jde použít oba způsoby.

\(f(x,y)= 2x+y+6, M: x^2+y^2=5\)

6. V šesté lekci si vypočteme další příklad, tentokrát se nám v zadání objeví neoblíbené Eulerovo číslo, ale uvidíte, že i tak to hravě zvládneme.

\(f(x,y)= y-7x, M: y=e^{2x}-x\)

7. V sedmé lekci si vyzkoušíme výpočet vázaných extrémů u funkce tří proměnných. Zde už nelze použít metodu redukce proměnných, a tak bude nutné provést výpočet pomocí Lagrangeovy funkce.

\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z, M: 3x+2z=7+y\)

8. V osmé lekci si ještě na závěr procvičíme výpočet vázaných extrémů vzhledem k zadané množině M na funkci tří proměnných. Zadání příkladu vypadá následovně:

\(f(x,y,z)=x-2y+2z, M: x^2+y^2+z^2=1\)