Dvojné integrály

O kurzu

Tento kurz je naprostý základ ke všem dalším kurzům. Začneme totiž dělat vícenásobný integrály, který se s námi potáhnou ještě hodně dlouho. Teď se vrhneme na dvojné integrály a kdo nepochopí, jak se postupně zbavit obou integrálů, bude mít pak problém i u trojných integrálů, které jsou, jak název napovídá, ještě složitější. Dávej tedy pozor a fakt se teď soustřeď, ať stavíš na pevných základech.

1. V první lekci si vysvětlíme princip výpočtu dvojných integrálů. Na obrázku si ukážeme, jak zjistit meze pro x a pro y a jak je napsat k daným integrálům.

2. V druhé lekci si vyzkoušíme vypočítat první příklad na dvojný integrál s konstantními mezemi.

\(\int_Mx^{2}y\,\mathrm{d}A, M: \langle 0,2 \rangle X \langle 1,2 \rangle\)

3. Ve třetí lekci vyzkoušíme další, tentokrát už obtížnější příklad na dvojný integrál s konstantními mezemi.

\(\int_M \frac{x^2}{3+y^2}\,\mathrm{d}A, M: \langle 0,3 \rangle X \langle 0,1 \rangle\)

4. Ve čtvrté lekci se posuneme k proměnným mezím. To znamená, že množina M nebude zadaná čísly, ale rovnicemi či nerovnicemi a my si tak budeme muset nejprve nakreslit obrázek.

\(\int_M 4x-y \,\mathrm{d}A, M: \{ x\geq0 \land y\geq0 \land x+y\leq4 \}\)

5. V páté lekci se podíváme ještě na jeden příklad s proměnnými mezemi, tentokrát místo nerovnic budou zadané rovnice:

\(\int_M \frac{x^2}{y^2} \,\mathrm{d}A, M: \{ y=4x, y=\frac{1}{x}, x=1\}\)

6. V šesté lekci si spočítáme další příklad s proměnnými mezemi,  tentokrát se bude jednat o oblast ohraničenou parabolou a přímkou:

\(\int_M y \,\mathrm{d}A, M: \{ x^2-y+2=0, x+y=4\}\)

7. V sedmé lekci nás čeká odmocninová parabola a během integrace dokonce narazíme na metodu per partes:

\(\int_M e^\frac{x}{y} \,\mathrm{d}A, M: \{ y^2=x, x=0, y=1\}\)

8. V osmé lekci si procvičíme další příklad na proměnné meze, poprvé se nám ale stane, že se bude obrazec lámat a my jej tak budeme muset počítat na dvakrát:

\(\int_M xy \,\mathrm{d}A, M: \{ y=x-4, y^2=2x\}\)

9. V deváté lekci nás čeká nejtěžší, ale naštěstí poslední příklad na dvojný integrál s proměnnými mezemi:

\(\int_M x(y-1) \,\mathrm{d}A, M: \{ x^2+y^2\leq1, y\leq{x+1}, y\geq0 \}\)