Křivkové integrály II. druhu

O kurzu

Další kurz na křivkové integrály bude trochu jinej, ale budeme dost čerpat z předchozího kurzu, a hlavně typových možností zadání příkladu. Vysvětlíme si, co se u křivkových integrálů II. druhu dělá jinak a taky na co se dají použít - na výpočet práce, cirkulace a toku silovýho či vektorovýho pole. Tak pojďme na to, nikdy nevíš, která z aplikací tě v testu potká.

1. V první lekci si vysvětlíme princip výpočtu křivkového integrálu II. druhu. Popíšeme si, v čem je výpočet jiný oproti křivkovým integrálům I. druhu, že nebude potřeba počítat Jakobián a že výsledkem jako vždy bude jedno konkrétní číslo.

2. V druhé lekci si vyzkoušíme spočítat první úvodní příklad, kdy bude křivka zadaná pomocí ypsilonu a dvou bodů:

\(\int_C (2y-6xy^3)dx+(2x-9x^2y^2)dy \, , C: y=x^2, A [0,0], B[1,1]\)

3. Ve třetí lekci vyzkoušíme složitější příklad, který je zadán jako obdélník, což znamená, že budeme muset počítat jednotlivé křivky zvlášť:

\(\int_C (x^2+y^2)dy \, , C:\) kladně orientovaný obdélník s vrcholy \( A [2,2], B[5,2], C[5,4], D[2,4]\)

4. Ve čtvrté lekci se posuneme k aplikaci křivkového integrálu. Teoreticky si popíšeme, jak vypočítat práci silového pole, cirkulaci a tok vektorového pole. Napíšeme si všechny vzorce, ať je můžeme v dalších lekcích použít na příkladech.

5. V páté lekci se podíváme na první příklad, kde se po nás chce vypočítat práci zadaného silového pole:

\(W=?, F=(x+y, 2x)\) podél kladně orientované křivky \(C: x^2+y^2=4\)

6. V šesté lekci si spočítáme další příklad na práci silového pole, tentokrát však budeme muset rozhodnout o orientaci křivky:

\(W=?, F=(\frac{y}{x}, x)\) podél orientované křivky \(C: xy=1, A[3, \frac{1}{3}], B[ \frac{1}{2}, 2]\)

7. V sedmé lekci nás čeká výpočet cirkulace vektorového pole, kdy v podstatě budeme používat totožný vzorec jako pro výpočet práce:

\(CP=?, F=(2-y,1+x)\) podél trojúhelníka \(ABC: A[0,0], B[1,1], C[0,2]\)

8. V osmé lekci si procvičíme výpočet toku vektorového pole. Vzorec bude tentokrát jiný a křivka bude po dlouhé době zadaná parametrizací:

\(TP=?, F=(x^2+y^2, -2xy)\) podél kladně orientované křivky \( C: \psi(t)=(1+cost, sint), t\in \langle 0,2\pi \rangle\)