Polární souřadnice

O kurzu

Substituce do polárních souřadnic - tak o tom už jste určitě slyšeli a jak ze školy víte, jen tak se toho nezbavíte. Objevuje se to snad v každým zápočtu i zkoušce, takže by to člověk měl fakt umět. My se naučíme substituovat jak do kružnice, tak do elipsy, vyzkoušíme si na to nespočet příkladů a řekneme si i nějaký triky, jak si ulehčit práci.

1. V první lekci navážeme na předchozí videa se základní substitucí. naučíme se totiž novou substituci, a to do polárních souřadnic. Co to znamená, jak se tato substituce napíše a jak zjistíme nové meze? To vše si řekneme v této úvodní lekci.

2. V druhé lekci si vyzkoušíme výpočet prvního úvodního příkladu, ve kterém poprvé použijeme polární souřadnice:

$\int_M \sqrt{x^2+y^2} \,\mathrm{d}A, M: \{ 1\leq x^2+y^2\leq 4 \land x\leq y \leq \sqrt{3}x \}$

3. Ve třetí lekci vyzkoušíme příklad, ve kterém je kružnice posunuta po ose y, což nám zajímavým způsobem pozmění meze!

$\int_M \sqrt{1+\frac{x^2}{y^2}} \,\mathrm{d}A, M: \{ x^2+y^2\leq 2y \}$

4. Ve čtvrté lekci se posuneme k ještě složitějšímu příkladu, kdy při integrování budeme muset použít substituci:

$\int_M \sqrt{\frac{4}{4-x^2-y^2}} \,\mathrm{d}A, M: \{ x^2+y^2\leq 1 \land 0\leq x\leq y\}$

5. V páté lekci se podíváme na příklad, který obsahuje logaritmy a záludné e, ale princip polárních souřadnic bude pořád stejný:

$\int_M \frac{ln(x^2+y^2)}{x^2+y^2} \,\mathrm{d}A, M: \{ 1\leq x^2+y^2\leq e\}$

6. V šesté lekci si vysvětlíme teorii k substituci do elipsy. Bude to hodně podobné, jako jsme doteď dělali u kružnice, jen nám tam přibydou koeficienty vyjadřující zploštělost elipsy. Všechna ostatní pravidla zůstávají stejná.

7. V sedmé lekci nás čeká úvodní příklad na substituci do elipsy:

$\int_M xy \,\mathrm{d}A, M: \{ \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3} \leq 1 \land x\geq 0 \land y\geq 0 \}$

8. V osmé lekci si procvičíme další příklad na elipsu, tentokrát tam budou rovnou dvě a budeme integrovat přes obrazec mezi nimi:

$\int_M x \,\mathrm{d}A, M: \{ 1 \leq\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \leq 4 \land x\geq 0 \land y\geq 0 \}$

9. V deváté lekci si spočítáme poslední příklad na polární souřadnice, kde se bude vyskytovat jak elipsa, tak kružnice:

$\int_M x^3 \,\mathrm{d}A, M: \{ 4 \leq x^2+y^2 \land {x^2}+\frac{y^2}{4} \leq 4 \land y\geq 0 \}$