Řešitelnost okrajové úlohy

O kurzu

A je tady poslední kurz týkající se diferenciálních rovnic, který je potřeba k prvnímu zápočtu. Už to bude docela rychlý, ukážeme si vzorce pro výpočet vlastních čísel a vlastních funkcí úloh, které budeme potřebovat k určení počtu řešení úlohy. Zadání vždycky zní podobně jako: Aniž byste úlohu řešili, ...takže tyto příklady se budou dělat kompletně jinak, než jsme je byli zvyklí řešit doteď. Máte se na co těšit!

1. V první lekci si ukážeme to nejdůležitější, a to je polopatický postup, jak počítat úlohu typu: "Aniž byste rovnici řešili, uveďte, kolik má daná úloha řešení..." Napíšeme si vzorce, které budeme k výpočtu potřebovat a taky si popíšeme všechny kroky potřebné k tomu, abychom určili, zda má úloha jedno, žádné, nebo nekonečně mnoho řešení.

2. V druhé lekci si spočítáme první, nejjednodušší příklad, který bude mít pouze jedno řešení:

\(u´´+u=x+sinx, u(0)=0, u(\frac{\pi}{2})=0\)

3. Ve třetí lekci se podíváme na další vzorový příklad, v kterém si zase ukážeme, jak zjistit, že okrajová úloha má nekonečně mnoho řešení. tentokrát k tomu budeme potřebovat dokonce integrály:

\(u´´+4u=sin^2x, u(0)=0, u(\pi)=0\)

4. Ve čtvrté lekci budeme řešit další okrajovou úlohu, opět budeme muset zavzpomínat na výpočet integrálů, abychom nakonec zjistili, že úloha nemá žádné řešení:

\(u´´+u=sinx, u(0)=0, u(\pi)=0\)

5. V páté lekci se opět dostaneme k teorii a tentokrát si budeme vysvětlovat, jak provést diskuzi řešitelnosti okrajové úlohy v závislosti na parametru. Právě o neznámý parametr budou tyto úlohy náročnější, ale společně to určitě dáme!

6. V šesté lekci si spočítáme první příklad na řešitelnost okrajové úlohy s parametrem. Bude to takové zvláštní, ale snad to půjde z videa pochopit:

\(u´´+\lambda u=sin5x, u(0)=0, u(\pi)=0\)

7. V sedmé lekci na nás čeká už poslední, za to ale o trochu náročnější příklad s parametrem. Uklidněním může být snad to, že se jedná o úplně poslední příklad týkající se diferenciálních rovnic!

\(u´´+\lambda u=2sin3x-5sin4x, u(0)=0, u(\pi)=0\)