Trojné integrály

O kurzu

Dlouhý a důležitý kurz, který tě seznámí s trojnýma integrálama. Kromě klasických příkladů se naučíš i substituci do koule, elipsoidu a válce. Bez těchto substitucí to ve zkoušce bude složitý. Tak zapni první video a prokoukej se až do konce. Nikdy nevíš, který z těchto příkladů tě v testu potká.

1. V první lekci si vysvětlíme, jaký je rozdíl mezi dvojnou a trojnou integrací. Princip je v podstatě stejný, akorát nám přibyde neznámá z a místo dvou, budeme mít rovnou tři integrály. Ukážeme si i grafickou interpretaci na obrázku.

2. V druhé lekci si vyzkoušíme první trojný integrál s konstantními mezemi:

$\int_W x+2y-3z \,\mathrm{d}V, W: \langle 0,1 \rangle X \langle 1,2 \rangle X \langle 3,4 \rangle$

3. Ve třetí lekci vyzkoušíme příklad na trojný integrál s proměnnými mezemi, což bude vyžadovat nakreslení obrázku:

$\int_W xyz \,\mathrm{d}V, W: \{ y=x^2, x=y^2, z=0, z=xy\}$

4. Ve čtvrté lekci se posuneme k substituci do sférických souřadnic. Ukážeme si, jak substituce do koule vypadá, že kromě proměnné r a fí budeme potřebovat i proměnnou psí a také si nastavíme maximální intervaly, kterých tyto proměnné mohou dosahovat.

5. V páté lekci se podíváme na první příklad na substituci do koule:

$\int_W \sqrt{x^2+y^2} \,\mathrm{d}V, W: \{ x^2+y^2+z^2\leq4 \}$

6. V šesté lekci si spočítáme trošku složitější příklad na substituci do sférických souřadnic:

$\int_W \sqrt{x^2+y^2+z^2} \,\mathrm{d}V, W: \{ x^2+y^2+z^2\leq z \}$

7. V sedmé lekci nás čeká další teorie, a to vysvětlení substituce do tzv. dilatovaných sférických souřadnic - do elipsoidu. uvidíte, že přepis i pravidla jsou opět úplně totožná, akorát nám zde přibydou koeficienty a, b, c znázorňující dilataci do jednotlivých směrů.

8. V osmé lekci si procvičíme dilatované sférické souřadnice na prvním úvodním příkladu:

$\int_W xyz \,\mathrm{d}V, W: \{ 4x^2+9y^2+36z^2\leq 36 \land x\geq0 \land y\geq0 \land z\geq0\}$

9. V deváté lekci nás čeká další teorie, tentokrát už poslední substituce - do cylindrických souřadnic. Naučíme se tedy, jak napsat substituci pro válec a jak přijít na nové meze a jejich maximální intervaly.

10. V desáté lekci si procvičíme substituci do cylindrických souřadnic na tomto příkladě:

$\int_W z\sqrt{x^2+y^2} \,\mathrm{d}V, W: \{ x^2+y^2\leq 2x \land y\geq0 \land z\geq0 \land z\leq1\}$

11. V jedenácté lekci na nás čeká poslední příklad na substituci do válcových souřadnic a v dalším kurzu už můžeme přeskočit do aplikace trojné integrace:

$\int_W {x^2+y^2} \,\mathrm{d}V, W: \{0\leq z\leq 4-x^2-y^2\}$