Kmity a vlnění

O kurzu

V dnešním kurzu si probereme pátou kapitolu, Kmity a vlnění. Na úvod si nadefinujeme vztahy, které se následně naučíme použít na příkladech. Budeme se zabývat netlumenými kmity, skládáním kmitů a Snellovým zákonem.

 

Netlumené kmity

1) Těleso je umístěno na konci pružiny o silové konstatě k. Po vychýlení z rovnovážné polohy o \(A=0,15\:m\) je uvolněno a začne konat harmonický kmit s frekvencí \(f=0,75\:s^{-1}\).

a) Určete dobu kmitu.
b) Určete úhlovou frekvenci.
c) Určete počáteční fázi, jestliže v čase \(t=0\:s\) je výchylka maximální.
d) Určete počáteční fázi, jestliže v čase \(t=0\:s\) je výchylka rovna polovině maximální kladné výchylky \(x={A\over 2} \).
e) Určete počáteční fázi, jestliže v čase \(t=0\:s\) je výchylka rovna polovině maximální záporné výchylky \(x=-{A\over 2} \).
f) Napistě číselné výrazy pro závislosti vychýlky na čase z případů c), d), e)
g) Pro rovnice sestavené v f) vypočtěte výchylku v čase \(t_1={2\over3}\:s\) a \(t_2=1,17\:s\).

 

2) Závaží na pružině koná lineární harmonický pohyb s frekvencí \(f=0,32\:s^{-1}\). Amplituda kmitu je \(A=0,3\:m\). Čas počítejte od okamžiku, kdy má těleso maximální zápornou výchylku.

a) Napiště obecnou rovnici popisující závislost rychlosti na čase.
b) Určete počáteční fázi kmitu.
c) Určete rychlost kmitu tělesa v čase \(t=2\:s\).
d) Napistě obecnou rovnici popisující závislost zrychlení na čase.
e) Určete zrychlení v čase \(t=2\:s\).
f) Určete směr rychlosti a zrychlení v čase \(t=2\:s\).

 

3) Těleso o hmotnosti \(m=320\:g\) je umístěno na pružině o silové konstantě \(k=120\:Nm^{-1}\). Těleso bylo uvedeno do harmonického pohybu po vodorovné rovině tím, že byla pružina natažena o \(A=0,15\:m\). 

a) Vypočtěte maximální kinetickou energii a určete souřadnici, ve které těleso maximální kinetické energie nabývá.
b) Určete maximální rychlost tělesa.
c) Nakreslete do jednoho grafu průběh kinetické a potenciální energie.

 

4) Ideální pružina v rovnovážném stavu byla stlačena nárazem kulečníkové koule o hmotnosti \(m=260\:g\)   
o \(\triangle x=40\:cm\). V okamžiku nárazu se kulečníková koule pohybovala rychlostí \(v_0=5\:m/s\).

a) Vypočtěte silovou konstantu pružiny.
b) Vypočtěte rychlost kulečníkové koule v okamžiku, kdy byla pružina stlačena o \(x_1=20\:cm\).
c) O kolik centimetrů se pružina stlačí po narázu kulečníkové koule, jestliže by její silová konstanta byla \(k=75\:Nm^{-1}\).

 

5) Kulička o hmotnosti \(m=0,15\:kg\) zavěšená na pružině koná harmonické kmity ve směru osy y s frekvencí \(f=0,76\:s^{-1}\) a amplitudou kmitu \(A=0,35\:m\). V okamžiku, kdy je výchylka z rovnovážné polohy \(y_1=17\:cm\), určete:

a) rychlost kuličky
b) velikost návratné síly
c) zrychlení kuličky.

 

6) Kulička o hmotnost \(m_0=20\:g \) je zavěšena vertikálně na pružině. Jestliže na pružinu zavěsíme druhou kuličku o hmotnosti \(m_1=15\:g\), natáhne se pružina o délku \(y_1\). Po připojení druhé kuličky začne pružina kmitat s periodou \(T={\pi \over 4}\:s\) okolo nové rovnovážné polohy.

a) Určete, o jakou délku \(y_1\) se pružina natáhne.
b) Určete tuhost pružiny, na které jsou kuličky zavěšené.
c) Určete rozdíl mezi rovnovážnými polohami \(\triangle y\), jestliže kuličku o hmotnosti \(m_1\) nahradíme kuličkou o hmotnosti \(m_2=50\:g\).

 

Skládání kmitů

7) Dva stejnosměrné kmity jsou popsány pohybovými rovnicemi \(x_1(t)=0,04cos(120\pi t)\\ x_2(t)=0,04cos(120\pi t+{\pi\over 2})\).
a) Určete frekvenci kmitů.
b) Určete amplitudu výsledného kmitu, který vznikne složením kmitů \(x_1\) a \(x_2\).
c) Určete počáteční fázi výsledného kmitu.
d) Napište pohybovou rovnici výsledného kmitu.

 

8) Dva stejnosměrné kmity jsou popsány pohybovými rovnicemi \(x_1(t)=2,4cos(8\pi t)\\ x_2(t)=0,8cos(8\pi t+\pi)\).

a) Vypočtěte periodu kmitu.
b) Určete amplitudu výsledného kmitu, který vznikne složením kmitů  \(x_1\) a \(x_2\).
c) Určete počáteční fázi výsledného kmitu.
d) Napište pohybovou rovnici výsledného kmitu.
e) Jak by vypadala výsledná pohybová rovnice, kdybychom kmitům  \(x_1\) a \(x_2\) prohodili počáteční fázi?

 

9) Hmotný bod vykonává současně tři stejnosměrné kmity \(x_1(t)=Acos(\omega t)\\ x_2(t)=Acos(\omega t+{4\pi\over 9})\\ x_3(t)=Acos(\omega t+ {11\pi\over 9}),\\ kde A=0,04\:m,\: \omega=7,5\: rad/s\).
a) Určete amplitudu výsledného kmitu.
b) Určete počáteční fázi výsledného kmitu.
c) Napište pohybovou rovnici výsledného kmitu.

 

Snellův zákon

10) Jak se bude lámat paprsek světla, který dopadá z opticky řidšího do opticky hustšího prostředí? Jak se bude lámat paprsek světla, který dopadá z opticky hustšího do opticky řidšího prostředí? Odvoďte ze Snellova zákona.

 

11) Světlo dopadá ze vzduchu do vody pod úhlem \(\alpha_1=35°\). Určete, pod jakým úhlem se bude světlo ve vodě šířit. Index lomu světla vzduchu je \(n_1=1,00\) a index lomu světla vody je \(n_2=1,33\).

 

12) Určete pod jakým úhlem musí dopadat světelný paprsek na rozhraní vzduch-diamant, aby byl lomený paprsek kolmý na odražený paprsek. Index lomu světla vzduchu je \(n_1=1,00\) a index lomu světla diamantu je \(n_2=2,42\).

 

13) Paprsek monochromatického světla o vlnové délce \(\lambda=750\:nm\) dopadá pod úhlem \(\alpha_1=45°\) na rozhraní vzduch-sklo. K vrstvě skla ještě těsně přiléha vrstva diamantu. Index lomu světla ve vzduchu je \(n_v=1,00\), index lomu světla ve skle je \(n_s=1,75\) a v diamantu \(n_d=2,42\).

a) Určete rychlost monochromatického světla ve všech třech prostředích.
b) Určete frekvenci monochromatického světla ve všech třech prostředích.
c) Určete vlnovou délku monochromatického světla ve všech třech prostředích.
d) Vypočtěte mezní úhel pro paprsek dopadající na rozhraní diamant-sklo.