Mechanika Kontinua

O kurzu

V dnešním kurzu budeme počítat příklady z kapitoly Mechanika kontinua. Budeme se zabývat hydrostatikou, vztlakovou sílou a prouděním kapalin.

 

Hydrostatika

1) Dvě otevřené nádoby s kruhovým dnem jsou naplněny do výšky \(h=17\:cm\) dichlormethanem, jehož hustota je\(\rho=1,33\:g/ml\). Pruměr dna první nádoby je \(a=5\:cm\) a průměr dna druhé nádoby je \(b=7,5\:cm\) (viz obrázek ve videu).

a) Vypočtěte hydrostatický tlak u dna obou nádob.
b) Vypočtěte sílu, kterou dichlormethan působí na dno první nádoby.
c) Vypočtěte sílu, kterou dichlormethan působí na dno druhé nádoby.

 

2) V U-trubici se nacházejí dvě kapaliny ve statické rovnováze. V prvním rameni je voda o hustotě \(\rho=1,00\:g/ml\) a ve druhém rameni je dijodmethan o hustotě \(\rho=3,32\:g/ml\). V levém rameni má sloupec jedné z kapalin výšku\(l=55​​\:cm\) (od hladiny kapiliny do rozhraní s druhou kapalinou). Výška od rozhraní kapalin v levém rameni ke dnu trubice je \(h=10​​\:cm\). V pravém rameni je hladina výšší než v levém rameni. (viz obrázek ve videu, ze kterého už to půjde pochopit :-))

a) Která kapalina je v pravém rameni?
b) Vypočtěte hydrostatický tlak, který je v hloubce dané rozhraním. Jsou v této hloubce hydrostatické tlaky v pravém i v levém rameni vyrovnané?
c) Vypočtěte, o kolik je sloupec kapaliny v pravém rameni výšší než v levém.
d) Jaký je tlak kapalin na dně U-trubice?
 

 

3) V U-trubici se nacházejí dvě kapaliny ve statické rovnováze. V pravém rameni je etanol o hustotě \(\rho=789\:kg/m^3\) a v levém rameni je neznámá kapalina o neznámé hustotě \(\rho_x \). V levém rameni je hladina o \(d=0,9\:cm\) vyšší. Výška sloupce ethanolu v pravém rameni od rozhraní kapalin je \(l=10​​\:cm\). Od rozhraní kapalin ke dnu je svislá vzdálenost \(h=12​​\:cm\)  (viz obrázek ve videu, ze kterého už to půjde pochopit :-))

a) Má neznámá kapalina nižší nebo vyšší hustotu než ethanol?
b) Vypočtěte hydrostatický tlak v hloubce na rozhraní kapalin.
c) Vypočtěte hustotu neznámé kapaliny.
d) Jaký je celkový tlak u dna U-trubice?

 

4) V děličce se po protřepání oddělily tři nemísitelné kapaliny o hustotách \(\rho_1=1030\:kg/m^3\), \(\rho_2=789\:kg/m^3\) a \(\rho_3=2879\:kg/m^3\).

a) V jakém pořadí se kapaliny ustálí?
b) Jaký je celkový tlak na dně děličky způsobený kapalinami, jestliže výšky jednotlivých sloupců kapalin jsou \(h_1=7,5\:cm\), \(h_2= 12,5\:cm\) a \(h_3=5\:cm\)?
c) Jaký je celkový tlak působící na dno děličky po odšpuntování?
d) Jaká tlaková síla působí na uzávěr na dně děličky, jestliže průtoková trubice má průměr \(d=5\:mm\)?

 

Vztlaková síla

5) Těleso ve tvaru válce o poloměru \(r=3\:cm\), výšce \(h=7\:cm\) a hmotnosti \(m=176\:g\) plave v kapalině. 

a) Vypočtěte vztlakovou sílu působící na těleso.
b) Určete hustotu kapaliny, jestliže jsou v kapalině ponořeny \(3\over 4\) objemu tělesa.
c) Určte hustotu kapaliny, jestliže těleso je v kapalině zcela ponořené a v rovnováze ho drží síla závěsu \(F_T=0,72\:N\).

 

6) Dřevěný vor o hustotě \(\rho=560\:kg/m^3\) a rozměrech \(a=6\:m\), \(b=3\:m\) a \(c=0,2\:m\) plave po hladině řeky.

a) Jaká vztlaková síla vor drží na hladině?
b) Vor je stavěný na převoz smrkových kmenů. Kolik smrkových kmenů může vor maximálně převážet, aby se nepotopil, jesliže jeden kmen váží \(m= 100\:kg\)?
c) O kolik centimetrů se vor ponoří, jestliže na něj naložíme 7 smrkových kmenů?

 

7) Plavec o hmotnosti \(m= 78\:kg\) plave v moři o hostutě \(\rho=1024\:kg/m^3\)a pod vodou je ponořeno \(13\over 14\) jeho těla.

a) Jaká vztaková síle působí na plavce?
b) Jaký je objem plavce?
c) Jakou má plavec hustotu?

 

Proudění ideální kapaliny

8) Voda je vedena potrubím o vnitřním průměru \(d_1=7,5​​\:cm\), které se následně zužuje na vnitřní průměr \(d_2=3​​\:cm\) a ze kterého se plní pětilitrové barely. Pět barelů se plní \(t=45​​​​s\). 

a) Vypočtěte objemový průtok.
b) Jakou rychlostí vytéká voda z užšího potrubí, kterou se plní barely?
c) Jaká je rychlost vody v širší části potrubí?

 

9) Voda protéká vodorovnou trubicí, která se zužuje z průřezu \(S_1=16\:cm^2\) na průřez \(S_2={S_1\over 4}\). Rozdíl tlaků mezi průřezy je \(\bigtriangleup p=7200\:Pa\).

a) Porovnejte znaménkem <,> nebo = rychlosti v užší a širší části trubice.
b) Porovnejte znaménkem <,> nebo = tlaky v užší a širší části trubice.
c) Vypočtěte objemový průtok v trubici.

 

10) Benzín o hustotě \(\rho=725\:kg/m^3\) teče vodorovnou trubicí a vytéká do okolního prostoru o atmosferickém tlaku \(v_1=3\:m/s\). Průměr širší části trubice je \(d_2=15\:cm\) a průměr užší části je \(d_1=10\:cm\).

a) Vypočtěte objemový průtok.
b) Jakou rychlostí teče voda v širší části trubice?
c) Jaký je rozdíl tlaků v sirší a užší části trubice?

 

11) Sud s pivem s přístupem k atmosféře ve tvaru válce o vnitřním průměru \(d_1=0,4\:m\) byl naražen a tím vznikl kruhový vývod o průměru \(d_2=0,7\:cm\). Vývod je v hloubce \(h=0,8\:m\) pod hladinou piva a ve výšce \(h_2=3\:cm\) nad dnem sudu.

a) Jaký je poměr rychlostí vytékajícího piva a pohybu hladiny v sudu v okamžiku proražení?
b) Jaká je rychlost pohybu hladiny v okamžiku naražení sudu?
c) Určete vzdálenost \(d\) od paty sudu, do které dopadne vytekající pivo.

 

12) Oktan o hustotě \(\rho=703\:kg/m^3\) vytéka ze zásobní nádrže malým otvorem o průměru \(d_2,_1=1\:cm\). Hladina v nádrži je \(h=4,7\:m\) nad otvorem. Po jedné minutě se díra tlakovou silou zvětší na \(d_2,_2=2\:cm\).  Díra je ve výšce \(h_2=0,5\:m\).

a) Jaký je objemový průtok před a po protržení?
b) Jaký je objem vyteklého oktanu před zvětšením dírky?
c) Určete vzdálenost od paty zásobní nádrže, do které dopadne vytékající oktan.