Mechanika tuhého tělesa

O kurzu

V dnešním kurzu propočítáme příklady z kapitoly 3, Mechanika tuhého tělesa. Nadefinujeme si nové veličiny, které nám pomohou popsat rotační pohyb.

 

1) Vytvoříme si paralelu mezi vztahy pro popis translačního (posuvného) pohybu a rotačního pohybu, který nás bude v dnešním kurzu zajímat.

 

Kinematika rotačního pohybu

2)  Těleso rotuje kolem pevné osy tak, že úhel otočení se mění s časem podle rovnice \(\phi(t)=2t^3+11t+4\).

a) Napiště závislost úhlové rychlosti na čase a nakreslete graf.
b) Napiště závislost úhlového zrychlení na čase a slovně popiště typ rotačního pohybu.
c) Počet otáček za dobu \(t_1=5\:s\) od počátku sledování pohybu \(t_0=0\:s\). 

 

3) Beyblade rotující s frekvencí \(f_0=40\: s^{-1}\) začne rovnoměrně zpomalovat a zastaví za dobu \(t=75\:s\).

a) Nakreslete závislost úhlového zrychlení na čase.
b) Jaké je úhlové zpomalení Beybladu?
c) Kolik vykoná otáček, než se Beyblade přestane točit?

 

4) Míchadlo, které je na počátku sledování v klidu, začne rotovat tak, že jeho úhlove zrychlení se mění s časem \(\epsilon(t)=(20-10t)\:rad/s^2\).

a) Vypočtěte čas, kdy míchadlo opět zastaví.
b) Vypočtě celkový úhel otočení.
c) Jaká je maximální úhlová rychlost během pohybu?
d) Jaká frekvence odpovídá maximální úhlové rychlosti?
e) Kolik otáček míchadlo do konce pohybu vykonalo?

 

Dynamika rotačního pohybu

5) Vzdálenost jader v molekule DBr je \(l=0,948.10^{-9} \:m\). Hmotnost deuteria je \(m_D=2,01\:u\) a bromu \(m_{Br}=79,90\:u\), kde \(u\) je atomová hmotnostní konstanta \(u=1,66.10^{-27}\:kg\).

a) Určete x-ovou souřadnici hmotného středu molekuly, jestliže deuterium leží v počátku soustavy souřadnic a brom na ose \(x\).
b) Vypočtěte moment setrvačnosti \(J\) vzhledem k svislé ose procházející hmotným středem molekuly.
c) Vypočtěte kinetickou energii, jestliže frekvence molekuly je \(f=10^{11} \:s^{-1}\).

 

6) Molekula má moment setrvačnosti \(J=161.10^2\:u.pm^2\) a otáčí se kolem pevné osy úhlovou rychlostí \(\omega=5,1.10^{11}\:rad/s\).

a) Převeďte moment setrvačnosti do jednotek \(kg.m^2\).
b) Vypočtěte kinetickou energii molekuly.
c) Vypočtěte frekvenci otáčení molekuly kolem pevné osy.

 

7) Molekula těžké vody má tvar rovnoramenného trojúhelníka (viz obrázek ve videu), kde úhel mezi rameny je \(\alpha=106,7°\). Vzdálenost atomů deuteria od kyslíku je \(r=8,74.10^{-11}\:m\). Hmotnost deuteria je \(m_D=2,01\:u\) a hmotnost kyslíku je \(m_O=16\:u\), kde \(u\) je atomová hmotnostní konstanta a \(u=1,66.10^{-27}\:kg\).

a) Vypočtěte moment setrvačnosti \(J\) vzhledem k ose \(k\) procházející atomem kyslíku kolmo na spojnici atomů deuteria.
b) Molekula rotuje kolem osy \(k\) a má kinetickou energii \(E_k=6,21.10^{-19} ​\:J\). Jaká je úhlová rychlost molekuly?
c) Jaká odstředivá síla působí na jádra deuteria?

 

Práce a energie při rotaci

8) Lopatkové míchadlo se otáčí úhlovou rychlostí \(\omega_0=3\:rad/s\). Po vypnutí rovnoměrně zpomaluje a do zastavení vykoná 12 otáček. Brzdné síly vykonají práci \(W_b=-360\:J\).

a) Jaký je moment setrvačnosti míchadla?
b) Vypočtěte moment brzdných sil.
c) Jaká je kinetická energie míchadla po vykonání pěti otáček?

 

9) Těleso se z klidu roztáčí rovnoměrně zrychleně vlivem momentu hnacích sil \(M=1340\:Nm\). Za dobu \(t_1=45\:s\) dosáhne frekvence \(f_1=4,5\:s^{-1}\).

a) Jaké je úhlové zrychlení tělesa?
b) Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení.
c) Vypočtěte moment setrvačnosti vzhedem k otáčení, jestliže zároveň působí moment brzdných sil \(M_b=37\:Nm\).
d) Jaká je kinetická energie tělesa po 32 otáčkách?

 

10) Beyblade o momentu setrvačnosti \(J=5\:kg.m^2 \) se roztáčí z klidu působením momentu síly \(M=18\:Nm\) s úhlovým zrychlením \(\eta=3,1\:rad/s^2\).

a) Vypočtěte moment brzdných sil.
b) Jakou práci vykoná moment brzdných sil za prvních pět sekund rotace?
c) Vypočtěte okamžitý výkon v čase \(t=5\:s\).

 

Moment hybnosti, zákon zachování momentu hybnosti

11) Země o hmotnosti \(M_z=6,0.10^{24}\:kg\) a poloměru \(R_z=6378\:km\) rotuje okolo Slunce po kružnici s poloměrem \(r_z=1,5.10^{11}\:m\). Perioda oběhu je \(T=365,25 \) dne. Země se dále točí okolo vlastní osy s periodou \(T_z=24 \:h\).

a) Vypočtěte orbitální moment hybnosti Země.
b) Vypočtěte vnitřní moment hybnosti Země při rotaci okolo vlastní osy, jestliže moment setrvačnosti je \(J_z={2\over5}M_z{R_z}^2\)

 

12) Dvě neutronové hvězdy o hmotnosti \(m_1=1,75\) hmoty Slunce a \(m_2=2,09\) hmoty Slunce rotují kolem osy procházející hmotným středem. Ve chvíli, kdy jsou od sebe vzdáleny \(l_0=5000 \:km\), rotují s frekvencí \(f_0=2 \: s^{-1}\). S jakou frekvencí \(f_1\) budou rotovat, jestliže se k sobě přiblíží na \(l_1=4000\: km\)?

 

Valivý pohyb

13) Těleso ve tvaru homogenního válce o hmotnosti \(m=14\:kg\) se valí po nakloněné rovině směrem vzhůru. Jeho translační rychlost u paty nakloněné roviny je \(v_0=12\:m/s\).

a) Do obrázku zakreslete síly působící na válec.
b) Vypočtěte maximální výšku, do které válec vystoupá.
c) Vypočtěte translační rychlost válce ve výšce odpovídající \(h={h_{max}\over 3}\).
 

14) Smrkový kmen ve tvaru homogenního válce se valí z výšky \(h_{max}=3,7\:m\) po nakloněné rovině směrem dolů. Jeho hmotnost je \(m=124\:kg\).

a) Nakreslete obrázek všech sil působících na kmen.
b) Vypočtěte kinetickou energii na úpatí roviny.
c) Jaká je maximální translační rychlost kmene?
d) Jakou má kmen translační rychlost ve výšce \(h={h_{max}\over 2}\)?