Vektory, kinematika hmotného bodu

O kurzu

V prvním kurzu předmětu Fyzika I se naučíme základní operace s vektory a následně se podíváme na první kapitolu, kinematiku hmotného bodu. Ukážeme si, jak odvodit závislost dráhy, rychlosti a zrychlení na čase a natrénujeme teorii na příkladech.

 

1) Jaký je význám směrových vektorů \(\vec i, \vec j, \vec k\)? Ukážeme si rozepsání vektorů do složek a jak vypočítat délku vektoru. K čemu nám poslouží znát délku?

 

2) Vysvětlíme si význam skalárního součinu a ukážeme si, jak ho počítat. Jak vypočítat úhel, který dva vektory svírají?

 

3) Vysvětlíme si význam vektorového součinu. Vysvětlíme si pravidlo pravé ruky a ukážeme si, jak spočítat délku vektoru \(\vec c\), který je výsledkem vektorového součinu \(\vec a \) a \(\vec b\).

 

4) Vektor \(\vec a \) svírá s kladnou částí osy \(x\) úhel \(30°\) a vektor \(\vec b\) stejný úhel se zápornou částí. Délka \(\mid \vec a\mid=3\) a délka \(\mid \vec b\mid=4\).

a) Vypočítejte délku součtového vektoru  \(\vec a \) + \(\vec b\) = \(\vec c\).
b) Rozepište vektory  \(\vec a \) a \(\vec b\) do složek.
c) Vypočítejte skalární součin \(\vec a \).\(\vec b\) .
d) Směr a délku vekotru \(\vec d\), který vznikne vektorovým součinem \(\vec a \) a \(\vec b\) .

 

5) Vektor \(\vec u =B-A\) a vektor \(\vec v =D-C\), kde \(A=(3,1,2) \\ B=(-2,0,-3)\\ C=(1,1,1)\\ D=(1,4,6)\). Zapiště vektory \(\vec u\) a \(\vec v\) ve složkovém tvaru a vypočtěte jejich délku. Vypočtěte úhel, který svírají.

 

6) Při pohybu hmotného bodu se jeho polohový vektor mění s časem \(\vec r(t)=(3t+1)\vec i+(t+2)^2\vec j\). 

a) Načrtněte závislosti složek \(r_x\) a \(r_y\) na čase.
b) Načrtněte vektor \(\vec r\) v čase \(t_0=0s\).
c) Určete vektor rychlosti \(\vec v(t)\), nakreslete závislost složek \(v_x\) a \(v_y\) na čase.
d) Načrtněte vektor \(\vec v\) v čase \(t_1=1s\). Jaká je celková rychlost hmotného bodu v čase \(t_1=1s\).

 

7)  Při pohybu hmotného bodu se jeho polohový vektor mění s časem \(\vec r(t)=6t^2\vec i+(3+t)\vec j+3t\vec k\).

a) Určete vektor rychlosti \(\vec v(t)\) a nakreslete závislost jeho složek na čase. Jaký typ pohybu hmotný bod koná ve směru jednotlivých os?
b) Jaká je rychlost hmotného bodu v čase \(t_0=1s\)?
c) Jak vypadá vektor zrychlení \(\vec a(t)?\)

 

8) Auto jede rychlostí \(v_0=8\) \(m/s\). V čase \(t_0=0s\) začne rovnoměrně zrychlovat a v čase \(t_1=10s\) je zrychlení \(a_1=20\) \(m/s^2\)

a) Zakreslete závislost zrychlení na čase. Jaká je hodnota zrychlení?
b) Napiště závislost rychlosti na čase. Jaká je rychlost v čase \(t_2=2s\)?
c) Napište závislost dráhy na čase. Jakou dráhu ujelo auto do času \(t_2=2s\)?

9) Hmotný bod se vzdaluje od bodu A podle rovnice \(s(t)={1\over4}t^2+4t+8\). 

a) Jaká je vzdálenost hmotného bodu od bodu A v čase \(t_0=2s\)?
b) Jaká je rychlost hmotného bodu v čase \(t_0=2s\)?
c) Jaké je zrychlení hmotného bodu?
d) Zakreslete závislost rychlosti a zrychlení na čase.
e) Zjistěte čas \(t_1\), kdy je rychlost hmotného bodu nulová.

 

10) Hmotný bod koná přímočarý pohyb ve směru osy \(x\) se zrychlením \(a=3t\) \(m/s^2\). V čase \(t_0=0s\) byla rychlost hmotného bodu \(v_0=3\) \(m/s\) a dráha, kterou v čase \(t_0=0s\) již ujelo \(s_0=4\) \(m\). 

a) Jakou rychlostí se hmotný bod pohybuje v čase \(t_1=4s\)?
b) Jakou dráhu hmotný bod urazil v čase \(t_1=4s\)?

 

11) Motorka se pohybuje počáteční rychlostí \(v_0=54\) \(km/h\) a začne brzdit se zpomalením \(\)\(3\)\(m/s^2\).

a) Jaká je rychlost motorky v čase \(t_1=3s\)?
b) Jakou ujela motorka dráhu v čase \(t_1=3s\)?
c) Vypočítejte dráhu, kterou motorka ujede, než zastaví.

 

12) Částice vletí do elektrostatického pole rychlostí \(v_0=750\) \(km/s\) a začne zpomalovat se zrychlením \(a=-1,2.10^{12}\) \(m/s^2\).

a) Určete čas \(t_1\), kdy částice zastaví.
b) Vypočtěte dráhu, kterou částice uletí v elektrostatickém poli, než zastaví.
c) Zakreslete závislost rychlosti na čase.

 

13) Příklad zadaný jako obrázek  závislost rychlosti na čase.

a) Z obrázku určete zrychlení auta.
b) Vypočtěte dráhu, kterou auto urazí v prvních deseti sekundách pohybu.
c) Načrtněte závislost zrychlení auta na čase.

 

14) Lyžař jede z kopce a rovnoměrně zvyšuje svou rychlost. V počátku sledování jede rychlostí \(v_0=14,4\) \(km/h\). O 90 metrů dále se pohybuje rychlostí \(v_1=50,4\) \(km/h\).

a) Určete zrychlení lyžaře.
b) Zakreslete závislost rychlosti lyžaře na čase.
c) Za jak dlouho dosáhne rychlosti \(v_2=100,8\) \(km/h\)?
d) Jak rychle lyžař musí brzdit, aby z rychlosti \(v_1=50,4\) \(km/h\) zastavil po 50 metrech?
e) Jak dlouho bude brzdit?