Příprava na druhý zápočtový test I

O kurzu

V dnešním kurzu si spočítáme příklady, které nás připraví na druhý zápočtový test.

1) Sestavte Taylorův polynom druhého stupně pro pro dané funkce a aproximujte funkční hodnoty

\(f(x)=3e^{-x}(sin(x)+2)\) v bodě \(x_0=0\), aproximujte funkční hodnotu \(f(0,1)\)

\(f(x)={ln(x)-2\over{x^2}}\) v bodě \(x_0=1\), aproximujte funkční hodnotu \(f(1,1)\)

2) Rozhodněte, zda zadané integrály konvergují či divergují

\(\int_1^\infty(3-x)2^xdx\)

\(\int_{-\infty}^\infty {arctg(x)\over{1+x^2}}dx\)

3) Vypočtěte následující integrály

\(\int {ln(x)\over x^3}dx\)

\(\int {\sqrt{x}(2- x^3)}dx\)

\(\int {4\over x^3} + {x\over x^2+1}dx\)

\(\int {2tg(x)\over cos^2(x)}dx\)

4) Nalezněte primitivní funkce k funkcím

\(f(x)={(x+4)\over 7x-x^2-10}\)

\(g(x)={4\over {x^2-25}}\)

5) Vypočtěte

plochu ohraničenou grafem funkce \(f(x)={1\over2}-{1\over{x+3}}\)osou \(x = -2\), \(x = 2\) a osou \(x\)

objem, který vznikne rotací funkce okolo osy x \(f(x)=2+2cos(x)\) na intervalu \(<{-\pi\over2};{\pi\over2}>\)

6) Graficky určete počet kořenů rovnice \(\sqrt{x}+2x-4=0\)a pro největší z nich nalezněte separační interval délky jedna. Na něm ověřte podmínky Newtonovy metody a spočtěte první aproximaci.

7) Nalezněte partikulární řešení diferenciální rovnice \(y´-2y = 6x^2-1\) s počáteční podmínkou \(y(0)=3\)

8) Ke křivce \(x = 3^t+1\), \(y=2t-2\); \(t \in (0;\infty)\) vyneste tečný vektor v bodě, kterému odpovídá hodnota parametru \(t=1\). Dokažte, že daná křivka definuje funkci. Funkci i tečný vektor načrtněte.