Příprava na souhrnný test

O kurzu

Dnes si spočítáme pár typových příkladů na souhrnný test

1) Vypočítejte plošný obsah, který je ohraničen grafem funkce \(f(x)={1\over{2x-3}}-1\), osou \(x = {7\over4}\), osou \(x = {5\over2}\) a osou \(x\).

2) Určete, na kterých intervalech je funkce \(f(x)={(8-2x^2)\sqrt{-x}}\) rostoucí, resp. klesající. Najděte lokální extrémy a sepiště rovnici tečny v bodě \(x_0=-1\).

3) Nalezněte partikulární řešení diferenciální rovnice \(y'-3y=4e^x\) s počáteční podmínkou \(y(0)=2\). 

4) Určete definiční obor funkce \(f(x)=\sqrt{7^x-{1\over7}}\) a dokažte, že existuje funkce inverzní. Určete definiční obor funkce inverzni a nalezněte její předpis.

5) Vypočtěte: \(\int {{2x+1}\over{x^2-5x+4}} dx\) a  \(\int {{6x}\over{({x^2+3})}^3} dx\)

6) Zapište vektor \(\vec{v}=(1,4,-2)\) jako lineární kombinaci vektorů \(\vec{u_1}=(-1,1,2), \vec{u_2}=(1,0,4), \vec{u_3}=(0,1,-4)\)

7) Zapište vektor \(\vec{v}=(1,2,0,4)\)jako lineární kombinaci vektorů \(\vec{u_1}=(3,0,-2,0), \vec{u_2}=(-1,4,2,0), \vec{u_3}=(0,3,1,2)\)

8) Vypočtěte: \(\int_1^\infty {{1}\over{(2-4x)^2}} dx\), \(\int_{1\over{e}}^{e^2} {{ln^2(x)}\over{x}} dx\) a \(\int_{1\over{e}}^{e^2} {{ln(x^2)}\over{x}} dx\) 

9) Načrtněte graf "vidličkové" funkce \(f(x)=arctg(x-1), x \in (-\infty;0)\)a \(f(x)=2^{2-x}, x \in <0;\infty)\)

10) Najděte řešení soustavy \(3x -6y +2z = -3\\ -2x +4y +z =2 \\ x -2y +3z =-1\). Lze tato soustava řešit Cramerovým pravidlem? Jaký je geometrický význam řešení?