Příprava na zkouškový test I

O kurzu

V úvodu dnešního kurzu si ukážeme vyšetřování průběhů funkcí, které jsme zatím nedělali. Ve druhé části si pak spočítáme pár typových příkladů na zkouškový test.

1) Vyšetřete průběh funkcí

\(f(x)={x\over x^2-3}\)

\(f(x)=arctg{1\over x}-{\pi\over 2}\)

\(f(x)={x^3\over e^x}\)

2) V závislosti na parametru \(a \in R\) rozhodněte, kdy je systém vektorů \(\vec{u}=(1,4,a), \vec{v}=(1,-a,1), \vec{w}=(1,2,3)\)lineárně závislý a kdy lineárně nezávislý. K výpočtu použijte a) determinant b) maticové úpravy.

3) Pomocí Frobeniovy věty vyřeště následující soustavu rovnic. Jaký je geometrický význam řešení?

\(2x-y-4z=5\\ 4x+y+2z=7\\ -2x+4y+10z=-8\)

4)

a) Je dána diferenciální rovnice \(y'=x^2-0,2y\) s počáteční podmínkou \(y(-2)=-1\). Pomocí Eulerovy metody s krokem \(h={1\over 2}\) vypočtěte \(y(-1)=?\).

b) Je dána diferenciální rovnice \(y'={\sqrt y}+sin(x)y^2\) s počáteční podmínkou \(y({\pi\over2})=1\). Pomocí Eulerovy metody s krokem \(h={\pi\over4}\) vypočtěte \(y(\pi)=?\)

5) Nakreslete graf funkce daných vlastností: \(\)\(D(f)=R\{+-2}\), spojitá, sudá, \(f(0)=-1\), \(lim_{x \to 2} \ f(x)=-\infty\), \(lim_{x \to \infty} \ f(x)=\infty\), \(f'(x)<0\) pro \(x \in (0;2)\) a \(f'(x)>0\) pro \(x \in (2;\infty)\). Dále platí, že \(f'(3)<f'(5)\).

6) Nalezněte partikulární řešení diferenciální rovnice \(y'-{1\over \sqrt x}y=e^{2\sqrt x }\) s počáteční podmínkou \(y(4)=7e^4\). Proveďte zkoušku.

7) Vypočtěte objem, který vznikne rotací plochy ohraničené průsečíky křivek \(-x^2+{y\over2}=2x+1\) a \(-y+x=2\) okolo osy \(x\).

8) Vyšetřete průběh funkce \(f(x)={x^2 \over x-2}\)