Příprava na zkouškový test II

O kurzu

Dnes si spočítáme další typové příklady jako přípravu na zkouškový test.

1) Napište diferenciál funkce \(f(x) = {2\over 3-2x}\) v bodě \(x_0=2\)a aproximujte tímto diferenciálem změnu \(f(2,5)-f(2)\). Do obrázku zakreslete funkci a chybu, které se dopustíte nahrazením funkce diferenciálem.

2) Vypočtěte derivaci funkce \(f(x)={\sqrt[3]{ x^2+2x}}\)a sepiště rovnici tečny v bodě \(x_0=-1\). Tečnu načrtněte.

3) Načrtněte křivku danou parametrickými rovnicemi  \(x = 2t \\ y= sin(t); t \in <-\pi,\pi>\)a numericky vypočtěte přibližnou délku křivky. K výpočtu použije krok \(h = {\pi\over 2}\).

4) V závislosti na hodnotě parametru \(a \in R\) rozhodněte, zda má soustava \(A\vec{x}=\vec{b}\) řešení. Řešení nalezněte.

5) Vypočtěte objem, který vznikne rotací plochy ohraničené funkcí \(f(x)=\sqrt x e^{-2x^2}\) a osou \(x\) na intervalu \(x \in <0,\infty)\)

6) Nalezněte partikulární řešení diferenciální rovnice \(y'+{1\over x-4}y=3x \) s počáteční podmínkou \(y(0)=5\).

7) (Pro silnejší povahy :-)) Vyšetřete průběh funkce \(arctg({x^2-4\over x^2+4})\) 

8) Do jednoho obrázku zakreslete křivku zadanou parametricky \(x = \sqrt t-1 \\ y = 4-t, t \in <0,\infty)\) a její tečnu v průsečíku s osou \(x\). Napiště parametrickou rovnici této tečny.

9) Napište vektor \(\vec{v}=(1,4,-2)\) jako lineární kombinaci vektorů \(\vec{u_1}=(-1,1,2), \vec{u_2}=(1,0,4), \vec{u_3}=(0, 1, -4)\)

10) Dokažte, že k funkci \(f(x)=arcsin{1\over \sqrt {x+1}}\) existuje funkce inverzní. Určete definiční obor funkce \(f(x)\) a definiční obor funkce inverzní. Napiště předpis funkce inverzní.

11) Načrtněte "vidličkovou" funkci \(f(x) = -ln(-x), x \in (-\infty,-1> \\ f(x) = e^{-x}-e, x \in (-1, \infty)\) a rozhodněte, zda existuje derivace v bodě \(x_0=-1\).

12) Nalezněte partikulární řešení diferenciální rovnice \(y'={cos(x)\over 4y(1+sin(x))^2}\) s počáteční podmínkou \(y({\pi\over 2})=1\).

13) Vypočtěte plochu, která je ohraničená grafem funkce \(f(x)={3\over x^2+3x}\) osou \(x = 0\), \(x = 3\) a osou \(x\).

14) Vyšetřete průběh funkce \(f(x)=ln{2\over 2+x^2}\)