Newtonova metoda, diferenciál, Taylorův polynom

O kurzu

V dnešním kurzu načneme látku na druhý zápočtový test. Ukážeme si řešení rovnic f(x)=0  Newtonovou metodou. Vysvětlíme si, co je to diferenciál a Taylorův polynom a na příkladech si ukážeme jejich využití.

1) Určete počet kořenů daných rovnic. Pro kořeny nalezněte separační interval délky 1 a spočítejte první aproximaci pomocí Newtonovy metody.

\( x+1+e^x=0\)

\(x^3-2-sin(x)=0\)

\((x-2)^3-1+{1\over x}=0 \)

2) Napište diferenciál daných funkcí a do obrázku vyznačte diferenci ∆f , diferenciál df(x0;∆x)  a chybu, které se dopustíte při aproximaci pomocí diferenciálu.

\(f(x)=x^3+1\) , v bodě \(x_{°}=1\) , zakreslit chybu při aproximaci \(f(1,3)-f(1)=df(1;{3 \over 10}) \)

\(f(x)=2arctg(x)\) , v bodě \(x_{°}=1\) , zakreslit chybu při aproximaci \(f(1,5)-f(1)=df(1;{1\over 2})\)

Pomocí diferenciálu aproximujte hodnotu \({10} \sqrt {e^9}\)

3) Pomocí Taylorova polynomu druhého stupně vypočtěte přibližné funkční hodnoty

\(ln(3)\)

\(arctg(1,7)\)

Napište Taylorův polynom druhého stupně funkce \(f(x)={1 \over \sqrt {1-x^2}}\) v bodě \(x_{°}=0\)  a následně vypočtěte přibližnou hodnotu \(1 \over \sqrt {0,91} \)