Newtonova metoda, diferenciál, Taylorův polynom

O kurzu

V dnešním kurzu načneme látku na druhý zápočtový test. Ukážeme si řešení rovnic f(x)=0  Newtonovou metodou. Vysvětlíme si, co je to diferenciál a Taylorův polynom a na příkladech si ukážeme jejich využití.

1) Určete počet kořenů daných rovnic. Pro kořeny nalezněte separační interval délky 1 a spočítejte první aproximaci pomocí Newtonovy metody.

$x+1+e^x=0$

$x^3-2-sin(x)=0$

$(x-2)^3-1+{1\over x}=0$

2) Napište diferenciál daných funkcí a do obrázku vyznačte diferenci ∆f , diferenciál df(x0;∆x)  a chybu, které se dopustíte při aproximaci pomocí diferenciálu.

$f(x)=x^3+1$ , v bodě $x_{°}=1$ , zakreslit chybu při aproximaci $f(1,3)-f(1)=df(1;{3 \over 10})$

$f(x)=2arctg(x)$ , v bodě $x_{°}=1$ , zakreslit chybu při aproximaci $f(1,5)-f(1)=df(1;{1\over 2})$

Pomocí diferenciálu aproximujte hodnotu ${10} \sqrt {e^9}$

3) Pomocí Taylorova polynomu druhého stupně vypočtěte přibližné funkční hodnoty

$ln(3)$

$arctg(1,7)$

Napište Taylorův polynom druhého stupně funkce $f(x)={1 \over \sqrt {1-x^2}}$ v bodě $x_{°}=0$  a následně vypočtěte přibližnou hodnotu $1 \over \sqrt {0,91}$