Výpočet plochy a objemu, parametrické rovnice křivek

O kurzu

V první části dnešního kurzu navážeme na téma z minule a spočítáme si pár příkladů na výpočet plochy a objemu. Ve druhé části se budeme věnovat parametrickým rovnicím křivek a výpočtu tečného vektoru.

1) Vypočítejte plochu, která je ohraničena 

grafy funkcí \(f(x)=tg(x)\) a \(f(x)=tg^2(x)\) a osami \(x = 0\) a \(x={\pi\over4}\)

grafem funkce \(f(x)=xe^{4x}\) na intervalu \((-\infty;0)\) a osou \(x\)

2) Vypočítejte objem, který vznikne rotací funkce

\(f(x)=1+sin(x)\) na intervalu \((0;{\pi\over2})\) rotací kolem osy \(x\)

\(f(x)=xe^{2x}\) na intervalu \((-2;0)\) rotací kolem osy \(x\)

\(f(x)=ln(x)\) na intervalu \((1;e)\) rotací kolem osy \(x\)

3) Načrtněte křivky zadané parametricky a rozhodněte, zda definují funkci

\(x=t\), \(y=t^2\); \(t \in R\)

\(x=t^2 \), \(y=t\); \(t \in R\)

\(x=t^3+1\), \(y=t\); \(t \in R\)

\(x=rcos(t)\), \(y=rsin(t)\); \(t \in <0;2\pi>\)

\(x=acos(t)\), \(y=bsin(t)\); \(t \in <0;2\pi>\)

půlkružnice s počátečním bodem \(A=[2;0]\) a koncovým bodem \(B=[-2;0]\), \(y \geq 0\)

4) Vypočtěte tečný vektor ke křivce a do jednoho obrázku načrtněte jak křivku, tak tečný vektor

\(x={\sqrt(t)}\), \(y=1-t\); \(t \in <0;\infty)\) v bodě \(T=(2;-3)\)

\(x=2sin(t)\), \(y=3cos(t)\); \(t \in <0;2\pi>\) v bodě \(T=(0;3)\)

\(x=arccos(t-2)\), \(y=4t-7\); \(t \in <1;3>\) v bodě \(T=({\pi\over2};1)\)