Příprava na zápočtový test I

O kurzu

V dnešním kurzu si spočítáme příklady podobné těm, které by nás mohli potkat v prvním zápočtovém testu.

Zadání příkladů:

1. Určete definiční obor funkcí

\(f(x)=\sqrt[3]{2^x \over x-1}\)

\(f(x)=arccos(1-x^2)\)

\(f(x)={x-2 \over x+4}\)

\(f(x)={1 \over {π \over 2}-arcsin(x)}\)

 

2. Vypočtěte první derivace funkcí

\(f(x)=sinx^3\)

\(f(x)=e^xln(x)\)

\(f(x)=x^4cos(x)\)

\(f(x)=\sqrt{1-2ln(3x+1)}\)

 

3. Vypočtěte limity funkcí

\(\lim_{x \to 3^+} \ {sgn(3-x) \over x-3}\)

\(\lim_{x \to \infty} \ {-\sqrt{2+x} \over e^x}\)

\(\lim_{x \to 1^+} \ {(1-x)^{-1} \over ln(x-1)}\)

\(\lim_{x \to 0^+} \ {cotg(x) \over \sqrt x}\)

 

4. Načrtněte grafy funkcí

Klesající funkce f , která má \(D_{(f)}=(-∞;4)\), \(\lim_{x \to -\infty} \ f(x)=2\), \(\lim_{x \to 4^-} f(x)=-2\), \(f(-1)=0\) a v bodě \(x=-1\) je nespojitá

Klesající, konkávní funkce f, která má \(D_{(f)}=(-∞;5)\),\(\lim_{x \to -\infty} f(x)=10\), \(\lim_{x \to 5^-} f(x)=-1\)

Periodická funkce f  s periodou \(p=2\), \(f(-1)=1\), \(\lim_{x \to -1^-}f(x)=1\), \(\lim_{x \to -1^+}f(x)=∞\) a \(f' (x)<0\) na \((-1;1)\)

 

5. Najděte lokální extrémy funkcí a intervaly, na kterých jsou funkce rostoucí (resp. klesající)

\(f(x)=-x+{1 \over 1-x}\)

\(f(x)=2x^3+6x^2-18x+3\)

 

6. Načrtněte grafy funkcí a napište rovnici tečny v daném bodě

\(f(x)=1-{1 \over x^2}; x \in (-∞;-1),\)

\(f(x)=4\);  \(x=-1\),

\(f(x)=2+log_2(x+2)\); \(x \in (-1;∞)\)

S rovnicí tečny v bodě \([0; f(0)]\)

 

\(f(x)=2+ln(-x)\); \(x \in (-1;0)\),

\(f(x)=1\); \(x=0\),

\(f(x)=1-{1 \over x^3} \ jinde\)

S rovnicí tečny v bodě \(\big[{1 \over 2}; f\big({1 \over 2}\big)\big]\)

 

7. Nalezněte předpis inverzní funkce a určete její definiční obor

\(f(x)=e^{1+{1 \over \sqrt x}}\)

\(f(x)=\sqrt{log(x-1)}\)

 

8. Na závěr dva doplňkové příklady na načrtání funkcí

Periodická funkce f  s periodou \(p=2\), \(f(1)=-1\), \(\lim_{x \to 1^-}f(x)=-1\), \(\lim_{x \to 1^+}f(x)=-∞\) a \(f' (x)>0\) na \((-1;1)\)

 

\(f(x)=2^x-2\); \(x \leq 0\),

\(f(x)=0\);  \(x=1\),

\(f(x)={1 \over (x-1)^3} \ jinde\)

S rovnicí tečny v bodě \([2; f(2)]\)