Derivace ve směru vektoru, Taylor, tečná rovina, diferenciál a Newton

O kurzu

V dnešním kurzu si rozšíříme metody, které známe již z MI a přidáme si jeden nový pojem - derivaci ve směru vektoru.

1)

a) Podle definice vypočtěte derivaci funkce \(f(x,y)=xy+3x^2-y^2\) v bodě \(A = (2;-4)\) ve směru vektoru \(\vec v =(-2;2)\).

b) Podle definice vypočtěte derivaci funkce \(f(x,y)=\sqrt[3]{(x-1)y^2}\) v bodě \(A = (1;0)\) ve směru vektoru \(\vec a =(3;-4)\).

2)

a) Pomocí gradientu vypočtěte derivaci funkce \(f(x,y)=xy+3x^2-y^2\) v bodě \(A = (2;-4)\) ve směru vektoru \(\vec v =(-2;2)\).

b) Pomocí gradientu vypočtěte derivaci funkce \(f(x,y)={\sqrt{ x-y^2+1} \over x}\) v bodě \(A = (1;-1)\) ve směru vektoru \(\vec a =(-3;4)\).

c) Lze použít výpočet derivace funkce \(f(x,y)=\sqrt[3]{(x-1)y^2}\) ve směru vektoru \(\vec a =(3;-4)\) v bodě \(A = (1;0)\)? 

3) Je dána funkce \(f(x,y)=x^y+2y^3\)

a) Napište Taylorův polynom druhého stupně v bodě \((x_0;y_0)=(1;5)\) a pomocí něj aproximujte funkční hodnotu \(f({9\over 10},{51\over 10})\).

b) Napište rovnici tečné roviny \(\tau\) ke grafu funkce v bodě \((1;5;f(x_0,y_0))\). Napište její normálový vektor.

c) Sepište diferenciál \(df((x_0;y_0),dx,dy)\) v bodě \(\)\((x_0;y_0)=(1;5)\)a aproximujte jím diferenci  \(f({9\over 10},{51\over 10})-f(1,5)\).

4) Vypočtěte Newtonovou metodou první aproximaci soustavy \((x-1)^2+y^2-1=0 \\ ln(xy)=0\). K výpočtu použijte nultou aproximaci  \((x_0;y_0)=(2;{1 \over 2})\).