Derivování složených funkcí více proměnných

O kurzu

V dnešním kurzu se naučíme derivovat složené funkce více proměnných.

1) Je dána funkce \(f(x,y)=2arcsin(x)+g(x+y,ln(y),x^2)\), kde \(g \in C^2 (R^3)\).

a) Vypočtěte parciální derivace \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\), \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\),\(\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x}\)

b) Vyčíslete \(\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x}\) v bodě \((x_0;y_0)=({1 \over 2};1)\) jestliže \(g(a,b,c)=2ab+bln(c)\)

c) Vyčíslete \(\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}\) v bodě \((x_0;y_0)=(2;3)\) jestliže \(g(a,b,c)=2a^2b+ln(a)ln(c)\)

2) Já dána funkce \(f(x,y)=x^yg({x \over x^y}) \). Vypočtěte obě první derivace.

3) Je dána funkce \(f(x,y)=2^yg({x \over 2^y}) \). Vypočtěte \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\) a \(\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}\). Následně vyčíslete druhou derivaci v bodě \((x_0;y_0)=(1;0)\), jestliže \(g(a)=4+4a^2\).

4) Je dána funkce \(f(x,y)=arctg(y)+g(xcos(y),\sqrt y,x+y)\). Vypočtěte \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\), \(\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}\) a \(\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}\) a následně vyčíslete \(\frac{\partial^2 f(0,\pi)}{\partial x^2}\) jestliže \(g(a,b,c)=ac+b+c^2\) a \(\frac{\partial^2 f(0,\pi)}{\partial x \partial y}\), jestliže \(g(a,b,c)=2ac+b^2+ln(c)\).