Diferenciální rovnice a soustavy diferenciálních rovnic

O kurzu

V dnešním kurzu si probereme poslední dvě kapitoly - diferenciální rovnice a soustavy diferenciálních rovnic.

1) Pomocí metody variace konstanty nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(xy'+4y=x^2+1\).

 

2) Pomocí metody variace konstant nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y''+4y'+4y=-2e^{-2x}\).

3) Pomocí metody variace konstant nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y''+2y'+y=e^x +e^{-x}\).

4)  Pomocí metody variace konstant nalezněte řešení diferenciální rovnice \(y''+y={1\over cos^3(x)}\) s počáteční podmínkou \(y(0)=-{1\over 2}\\ y'(0)=1\).

5) Pomocí metody odhadu nalezněte řešení diferenciální rovnice \(y''+9y=6sin(3x)\) s počáteční podmínkou \(y(0)=\pi\\ y'(0)=1\).

6) Pomocí metody odhadu odhadněte tvar partikulárního řešení diferenciální rovnice \(y''+5y'+6y=SPS\) pro dané speciální pravé strany.
a) \(SPS=e^{-2x}\)
b) \(SPS=x^2+3\)
c) \(SPS=e^{-3x}(3-x)\)
d) \(SPS=5\)
e) \(SPS=x^3sin(2x)\)

7) Pomocí metody odhadu odhadněte tvar partikulárního řešení diferenciální rovnice \(y''+2y'+y=SPS\) pro danou speciální pravou stranu.
a) \(SPS=3e^{-x}\)

8) Pomocí metody odhadu nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y''+2y'+y=x^2+3\). Proveďte zkoušku.

9) Pomocí metody odhadu nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice \(y''-3y'+2y=e^{x}+(2x-3)\). Proveďte zkoušku.

10) Vyřešte soustavu dvou diferencialních rovnic \(x'=2x+y\\ y'=5x-2y\) s počáteční podmínkou \(x(0)=2\\ y(0)=-4\).

11) Vyřešte soustavu dvou diferencialních rovnic \(x'=2x-2y\\ y'=-x+3y\) s počáteční podmínkou \(x(0)=-1\\ y(0)=7\).

12) Nalezněte obecné řešení soustavy dvou diferencialních rovnic \(x'=2x-2y\\ y'=x+4y\).

13) Nalezněte  řešení soustavy dvou diferencialních rovnic \(x'=3x-y\\ y'=5x-y\)  s počáteční podmínkou \(x(0)=1\\ y(0)=1\).