Implicitní funkce

O kurzu

V dnešním kurzu si vysvětlíme pojem implicitní funkce. Naučíme se ověřovat, zda je na okolí nějakého bodu definovaná implicitně zadaná funkce a ukážeme si, jak určit její vlastnosti. 

1) Rozhodněte, zda je na okolí bodu \(A=[\pi;1]\) rovnicí \(x^2+xy+{sin(x)\over y}-\pi(1+\pi)=0\) definována funkce \(y=f(x)\).

a) Rozhodněte, zda má funkce \(f\) v bodě \(x_0=\pi\) lokální extrém, popřípadě zda na okolí bodu \(x_0=\pi\) roste nebo klesá.
b) Rozhodněte, zda je funkce \(f\) na okolí bodu \(x_0=\pi\) konvexní nebo konkávní.
c) Napište rovnici tečny v bodě \(x_0=\pi\).
d) Napište Taylorův polynom druhého stupně v bodě \(x_0=\pi\).
e) Načrtněte funkci na okolí bodu \(A\).
f) Rozhodněte, zda je funkce \(f(x)=-2x+2\pi+1\) explicitním výjádřením.

2) Rozhodněte, zda je na okolí bodu \(A=[0;1]\) rovnicí \({1\over y}-cos(xy)=0\) definována funkce \(y=f(x)\).

a) Rozhodněte, zda má funkce \(f\) v bodě \(x_0=0\) lokální extrém, popřípadě zda na okolí bodu \(x_0=0\) roste nebo klesá.
b) Rozhodněte, zda je funkce \(f\) na okolí bodu \(x_0=0\) konvexní nebo konkávní.
c) Napište rovnici tečny v bodě \(x_0=0\).
d) Napište Taylorův polynom druhého stupně v bodě \(x_0=0\).
e) Načrtněte funkci na okolí bodu \(A\).
f) Rozhodněte, zda je funkce \(f(x)=x^2+2x+1\) explicitním výjádřením.

3) Rozhodněte, zda je na okolí bodu \(A=[1;1]\) rovnicí \(x^2+y^2-4y{\sqrt {x}}+2=0\) definována funkce \(y=f(x)\).

a) Rozhodněte, zda má funkce \(f\) v bodě \(x_0=1\) lokální extrém, popřípadě zda na okolí bodu \(x_0=1\) roste nebo klesá.
b) Rozhodněte, zda je funkce \(f\) na okolí bodu \(x_0=1\) konvexní nebo konkávní.
c) Napište rovnici tečny v bodě \(x_0=1\).
d) Napište Taylorův polynom druhého stupně v bodě \(x_0=1\).
e) Načrtněte funkci na okolí bodu \(A\).

4) Rozhodněte, zda je na okolí bodu \(A=[0;0;1]\) rovnicí \(x^2z-ln(z)+y^2=0\) definována funkce \(z=f(x,y)\).

a) Rozhodněte, zda má funkce \(f\) v bodě \([x_0,y_0]=[0,0]\) lokální extrém, popřípadě zda na okolí bodu \([x_0,y_0]=[0,0]\) roste nebo klesá.
b) Napište Taylorův polynom druhého stupně v bodě \([x_0,y_0]=[0,0]\).