Křivkový integrál vektorového pole

O kurzu

V dnešním kurzu načneme látku na druhý zápočtový test a přesuneme se od derivací k integrálům.

1) Vypočtěte souřadnice tečného vektor ke křivce \(K\) dané parametrickými rovnicemi \(x=4e^{-2t}\\ y=3t+1, t \in<0;\infty)\) v bodě \(T=(1;?)\). Do jednoho obrázku nakreslete křivku i tečný vektor a vyznačte orientaci křivky \(K\), která je souhlasná se zadanou parametrizací.

2) Vypočtěte křivkový integrál \(\int_K { \vec F\:} d\vec r\), kde \(\vec F(x,y)=(x^2+y^2,arccos(y))\) a křivka \(K\) je půlkružnice \(x^2+y^2=1\) s počátečním bodem \(A=(0;1)\) a koncovým bodem \(B=(0;-1)\) ležící v polorovině \(x\geq0\).

3) Vypočtěte křivkový integrál \(\int_K { \vec F\:} d\vec r\), kde \(\vec F(x,y)=(xy,x^2+y^2)\) a křivka \(K\) je oblouk elipsy \({x^2\over 9}+y^2=1\) s počátečním bodem \(A=(0;-1)\) a koncovým bodem \(B=(0;1)\) ležící v polorovině \(x\geq0\).

4) Ověřte, že vektorové pole \(\vec F(x,y)=({y^3\over 2\sqrt{(x)}}-{1\over x},3y^2\sqrt{x}-{1\over \sqrt y}{1\over \sqrt{1-y}})\) je na svém definičním oboru potenciální.

5) Zjistěte, zda je integrál \(\int 2x \:dx+(-z)\:dy+({1\over z}-y)\:dz\) nezávislý na integrační cestě v oblasti \(G=\{(x,y,z);z>0\}\). Vypočtěte tento integrál po křivce \(K\) \(x=t^2-1\\ y=1-t^2\\ z=2-t, t\in <-1;1>\) ve směru, který je souhlasný s parametrizací. 

6)  Ověřte, že je vektorové pole \(\vec F(x,y)=({1\over x^2}-{y\over \sqrt{1-x^2}},arccos(x)+{1\over 1-y})\) potenciální na oblasti \(G\). Určete tuto oblast a vypočtěte potenciál tak, aby platilo \(U({1\over 2},0)=-2\).