Příprava na druhý zápočtový test I

O kurzu

Dnes si spočítáme ještě pár typových příkladů na druhý zápočtový test.

1) Ověřte, že pole \(\vec F(x,y,z)=(x^2-2yz,y^2-2xz,z^2-2xy)\) je potenciální na svém definičním oboru. Určete potenciál a

vypočtětě \(\int_{[0,0,3]}^{[3,3,0]}\vec F\:ds\).

Navíc: Vypočtěte integrál \(\int_{[0,0,3]}^{[3,3,0]}\vec F\:ds\) z příkladu 1) po úsečce spojující body \(A=[0,0,3] \:a\:B=[3,3,0]\) (pomocí parametrizace přímky).
 

2)  Vypočtěte \(\int_K \vec F\:d\vec r\), kde \(\vec F(x,y)=(x^2+y^2,xy)\) a křivka \(K\) je půloblouk elipsy \(x^2+{y^2\over 4}=1\) ležící v polorovině \(x > 0\) s počátečním bodem \(A=[0,2]\) a \(B=[0,-2]\). Nakreslete obrázek.

3) Vypočtěte \(\int\int_D ln(y) \:dxdy\), kde množina \(D\) je trojúhelník s vrcholy v bodech \(A=[1,1] \: B=[3,4], \:C=[5,1]\).

4) Je dán integrál \(\int_{-3}^0(\int_{-6}^{2x} sin{\pi x\over y} \:dy)dx\). Nakreslete obrázek integračního oboru, zaměňte pořadí integrací a zintegrujte.

5) Vypočtěte \(\int\int_D {1 \over \sqrt[3]{(x^2+y^2)^2}}\:dxdy\), kde množina \(D=\{[x,y] \in R^2, 1 \leq x^2+y^2 \leq 4\}\).

6) Vypočtěte \(\int_K \vec F\:d\vec r\), kde \(\vec F(x,y)=({x^2+y^2 \over y},y^2)\) a křivka \(K\) je část oblouku elipsy \({x^2\over 9}+{y^2\over 4}=1\) s počátečním bodem \(A=[3,0]\) a koncovým bodem \(B=[0,2]\). Integrujte po oblouku ve směru shodném se směrem hodinových ručiček.

7) Ověřte, že pole \(\vec F(x,y,z)=({{\sqrt y\over 3 \sqrt[3] x^2}+x^2ln(x), {\sqrt[3] x\over 2 \sqrt y} - {1\over y} })\) je potenciální na svém definičním oboru. Určete potenciál tak, aby platilo \(U(1,1)=-{1\over 9}\).

8) Je dána křivka \(k:\) \(x=e^{-t}-1 \\ y=t ,t \in <-ln(9),0>\). Vypočtěte souřadnice tečného vektoru v bodě \(A=[1, -ln(2)]\) k této křivce a nakreslete jej do jednoho obrázku společně s křivkou \(k\).