Příprava na první zápočtový test I

O kurzu

V dnešním kurzu si spočítáme příklady podobné těm, na které můžeme narazit v prvním zápočtovém testu.

1) Dokažte, že na okolí bodu \(A=[1;1]\) je rovnicí \(y-x^2+ln(x)y+3ln(y)=0\) implicitně zadaná funkce \(y=f(x)\). Určete, zda je daná funkce na okolí bodu \(A=[1;1]\) rostoucí/klesající a konkávní/konvexní. Nakreslete graf dané funkce na okolí bodu \(A=[1;1]\) a napište rovnici tečny a Taylorův polynom druhého stupně pro implicitně zadanou funkci.

2) Nalezněte lokální extrémy a sedlové body funkce \(f(x,y)=e^{y-x}(y^2-2x^2)\)

3) Je dána funkce \(f(x,y)=arctg(x)+g(2cos(x),y\sqrt{x},x+y), kde g \in C^2(R^3)\). 

a)Vypočtěte \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \)
b)Vypočtěte \(\frac{\partial f^2(x,y)}{\partial y\partial x}\)
c)Vypočtěte \(\frac{\partial f^2(\pi,0)}{\partial y\partial x}, pokud\: g(a,b,c)=c+abc\)
d)Vypočtěte \(\frac{\partial f^2(\pi,0)}{\partial y^2}, pokud\: g(a,b,c)=c+abc\) (Navíc)

4) Je dána funkce \(f(x,y)=ln{(4-y^2-x^2)\over(x^2+y^2-9)}\). Určete definiční obor a zakreslete ho do roviny \(xy\). Vypočtěte gradient funkce v bodě \(A=[1,2]\) a vypočtěte derivaci ve směru jednotkového vektoru příslušného k vektoru \(\vec a=(-3;4)\).

5) Je dána funkce \(f(x,y)=arctg(x)+g(2cos(x),y\sqrt{x},x+y), kde g \in C^2(R^3)\). 

a)Vypočtěte \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \)
b)Vypočtěte \(\frac{\partial f^2(x,y)}{\partial x^2}\)
c)Vypočtěte \(\frac{\partial f^2(0,1)}{\partial x^2}, pokud\: g(a,b,c)=ac+b+c^2\)

6) Je dána funkce \(f(x,y)=ln{(2x)\over(x^2-4y^2-2)}\). Určete definiční obor a zakreslete ho do roviny \(xy\). Vypočtěte gradient funkce v bodě \(A=[2,0]\) a určete, zda je definiční obor množina otevřená, souvislá a konvexní.

7) Dokažte, že na okolí bodu \(A=[1;1]\) je rovnicí \(2x^2-y^2-4ln(y)\sqrt{x}-1=0\) implicitně zadaná funkce \(y=f(x)\). Určete, zda je daná funkce na okolí bodu \(A=[1;1]\) rostoucí/klesající a konkávní/konvexní. Nakreslete graf dané funkce na okolí bodu \(A=[1;1]\) a napište rovnici tečny a Taylorův polynom druhého stupně pro implicitně zadanou funkci. Rozhodněte, zda je funkce \(f(x)={2\over3}x+{7\over14}x^2\) explicitním vyjádřením naší implicitně zadané funkce.

8) Nalezněte lokální extrémy a sedlové body funkce \(f(x,y)=ln(yx^2)-y^2-{x^2\over 2}\)