Determinanty

O kurzu

1. V první lekci začneme probírat determinanty. Vysvětlíme si, co vůbec slovo determinant znamená a na jednoduchých malých (2,2) maticích si ukážeme základní princip výpočtu:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}$ detA=?

$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \\ \end{pmatrix}$ detB=?

Budeme pokračovat s výpočty u větších matic (3,3), kde už je nutné použít Sarrusovo pravidlo. Toto pravidlo si ukážeme na těcto příkladech:

$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 3 \\1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$detA=?

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 1 \\3 & 4 & -5 \\ \end{pmatrix}$detB=?

Také si ukážeme, jak postupovat, když se v determinantu objeví parametr a. Ukážeme si, jak pomocí determinantu určit lineární závislost a nezávislost vektorů v matici. Příklad bude takovýto:

Pro které a budou vektory lineárně závislé? $A = \begin{pmatrix} a & 2 & -4\\ 2 & 1 & 4 \\2 & 1 & -2a \\ \end{pmatrix}$

2. V druhé lekci se budeme opět věnovat determinantům, tentokrát ale u největších matic (4,4), kde je nutné použít rozvoj podle řádku či sloupce. Tento složitý postup si ukážeme na tomto příkladu:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3& 3\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\3 & 2 & 7 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$detA=?

3. Ve třetí lekci bude na programu Cramerovo pravidlo, které se využívá pro řešení soustavy rovnic. Naučíme se, jak toto pravidlo pracuje s determinanty a společně nalezneme řešení této soustavy lineárních rovnic:

$x+2y+3z=2\\ 2x-y+5z=-5\\ 3x+y-4z=9$

4. Ve čtvrté lekci si vysvětlíme, jaký je rozdíl mezi singulární a regulární maticí a jak zjistit, zda je zadaná matice singulární či regulární. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

$\left(\begin{matrix}1&2&5\\2&4&7\\4&8&9\\\end{matrix}\right)$

Také si ukážeme příklad s parametrem, kdy našim úkolem bude zjistit hodnotu parametru a tak, aby byla zadaná matice regulární.

$\left(\begin{matrix}2&1&3\\3&1&4\\-1&2&a\\\end{matrix}\right)$

5. V páté lekci si vysvětlíme, jak spočítat vlastní číslo matice. Začneme s malou maticí 2 x 2.

$\left(\begin{matrix}4&1\\4&4\\\end{matrix}\right)$

Poté budeme pokračovat s větší maticí 3 x 3, kde použijeme výpočet determinantu metodou rozvoje podle řádku či sloupce.

$\left(\begin{matrix}1&0&0\\-5&-4&-1\\4&4&1\\\end{matrix}\right)$