Limity

O kurzu

1. V první lekci si vysvětlíme, jak pracovat s nekonečnem. Ukážeme si, jaké výsledky dostaneme, když k nekonečnu přičteme či odečteme nějaké číslo, když nekonečno vynásobíme nebo vydělíme nějakým číslem či když nekonečno umocníme. Také si popíšeme výrazy, které nejsou definované.

2. V druhé lekci si probereme limity u jednoduchých polynomů a zlomků. Spočítáme tyto příklady:

\(\lim_{n \to \infty} \ (n^3 + 5n-1)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (n^3 - 5n-1)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (6n-4n^2)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ ((n+100)^{1999} -n^{2003})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{n^3-5n+5}{3n^3+2n^2+7})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{n^2-5n-3}{4n^3+2n^2})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{n^5-7n^3}{2n^2+2n-1})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{7n^6+2}{3-4n^3-2n^5})\)

3. Ve třetí lekci budeme pokračovat v limitách posloupností u zlomků, které budou ale o něco složitější než v předchozí lekci. Budeme je tedy muset nejprve upravit a pak až spočítat jejich limitu:

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{(1+3n^2)^3-3n^5}{(7+2n)^6})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{(n+2)^3-n^2(n+6)}{n+100})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{100n^{99}+ 99n^{98}}{(n^{50}+1)^2})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{\sqrt[5]{n^4} (n+2)}{1-\sqrt{n}-n\sqrt[4]{n^3}})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{3n^2-\sqrt[3]{n^5+2}}{\sqrt{n^4-3n^2+1}+5n})\)

4. Ve čtvrté lekci probereme limity, které obsahují exponenciální posloupnosti a také si ukážeme speciální limity typu -1 na ntou:

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{6^n+4^n+2^n}{6^{n+1}-3^n})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{5^n-2^n}{7^n+3^n+1})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{3^{2(n+1)}-9^n}{2^{3(n+1)}+8^{n+9}})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{(-1)^n+2}{(-1)^n-2})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{(-1)^n+2}{(-1)^n-2}n)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (n+(-1)^n n^2)\)

5. V páté lekci si ukážeme limity typu nekonečno minus nekonečno, které budeme řešit usměrněním výrazu:

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{n^4-n^3}-\sqrt{n^4+2n^3})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\frac{1}{\sqrt{n+1000}-\sqrt{n+100}})\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{3n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-2}))\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{n^4+2n-1}-3n)\)

\(\lim_{n \to \infty} \ (\sqrt{9n^2+n-4}-3n)\)

6. V šesté lekci se v limitách začnou objevovat nejrůznější funkce (goniometrické, cyklometrické, expoenciální, logaritmické, ...). Limitně se x bude stále blížit k plus či minus nekonečnu:

\(\lim_{x \to \infty} \ (\frac{3cosx+1}{x})\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (\frac{ln7x}{ln2x})\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (arccotg (e^{1-x^2}))\)

\(\lim_{x \to \infty} \ (arccos\sqrt{\frac{x^2}{4x^2+1}})\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (x(cosx-2))\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (\frac{2x^2+1}{x^2+2})^{-x}\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (\frac{ln(1+e^x)}{x})\)

\(\lim_{x \to -\infty} \ (arcsin\sqrt{\frac{3x}{4x+5}})\)

7. V sedmé lekci se v limitách objeví nejrůznější funkce (goniometrické, cyklometrické, expoenciální, logaritmické, ...). Limitně se však x bude blížit ke konkrétnímu číslu:

\(\lim_{x \to 2} \ (\frac{4x}{2})\)

\(\lim_{x \to 3} \ (\frac{x^2-2x-3} {x^2-9})\)

\(\lim_{x \to 0} \ (\frac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{2}}{x})\)

\(\lim_{x \to 0} \ (\frac{(x+2)^2-4} {x})\)

\(\lim_{x \to 8} \ (\frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8})\)

8. V osmé lekci si ukážeme jednostranné limity, které se k danému číslu blíží zprava či zleva:

\(\lim_{x \to 2^+} \ (\frac{1}{x^3-8})\)

\(\lim_{x \to 1^-} \ (\frac{x^2+3}{x-1})\)

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \ (3^{tg2x})\)

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^-} \ (3^{tg2x})\)

Také si ukážeme příklady vedoucí na jednostrannou limitu:

\(\lim_{x \to 0} \ (e^\frac{1-x}{x^2})\)

\(\lim_{x \to 0} \ (arccotg{\frac{x^2+1}{x^2}})\)

\(\lim_{x \to 0} \ (ln(arccotg{\frac{1}{x^2}}))\)

\(\lim_{x \to 0} \ (e^{6lnx})\)

Probereme i typy příkladů, které je nutné rozdělit na dvě jednostranné limity:

\(\lim_{x \to 0} \ (\frac{x^3-30}{x^3-3x^2})\)

\(\lim_{x \to 3} \ (\frac{x^3-30}{x^3-3x^2})\)

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ (\frac{1-2sinx}{cosx})\)

9. V deváté lekci si vysvětlíme, jak vypočítat limity, v nichž se nachází parametr a. Ukážeme si příklady limit, které mají n v exponentu a rovnají se nule nebo nekonečnu.

\(\lim\limits_{n \to \infty}{{(a^2+5a+7)}^n=\infty}\)

\(\lim\limits_{n \to \infty}{{(a+4)}^n=0}\)

10. V desáté lekci  si ukážeme příklady, kde se n bude objevovat ve zlomcích a celá limita se bude rovnat buď nule, nebo plus či minus nekonečnu.

\(\lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{n^2+4}{n}\ -\ an\right)=0\)

\(\lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{{an}^2}{n-1}\ +n\right)=\infty\)

\(\lim\limits_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2+1}-an\right)=-\infty\)

11. V jedenácté lekci si vysvětlíme, jak spočítat limitu funkce v krajních bodech definičního oboru. Nejdříve si budeme muset spočítat definiční obor a dále pak zjišťovat limity v jeho krajních bodech, kdy bude občas nutné počítat i jednostranné limity. Ukážeme si to na těchto příkladech:

\(f(x)=\frac{2x}{x^2-1}\)

\(f\left(x\right)=arctg\frac{1}{x}\)