Matice

O kurzu

1. V první lekci si vysvětlíme teorii k maticím. Řekneme si, jak zaznačit, kolik má matice řádků a sloupců a co to znamená, když je matice čtvercová. Také si ukážeme, jak vytvořit matici transponovanou a jak vypadá a jak se značí matice jednotková.

2. V druhé lekci si probereme základní operace s maticemi, což jsou násobení či dělení konstantou, sčítání a odčítání matic, násobení a dělení matic a v neposlední řadě umocňování matic. Všechny tyto operace si ukážeme na následujících příkladech:

\(X=3A\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 7 \\ \end{pmatrix}\)

\(X= \frac{B}{2}\) kde: \(B = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ -2 & -6 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A+B\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -1 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=C-D\) kde: \(C = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ -2 & 0 \\ \end{pmatrix}\)a \(D = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A*B\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ -2 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 2& 1 \\ 4 & -3 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A^2\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

3. Ve třetí lekci si pořádně započítáme. Ukážeme si několik příkladů, kde využijeme znalosti z lekcí 1 a 2. Natrénujeme si operace s maticemi a zkombinujeme několik pravidel dohromady. Příklady budou následující:

\(2A^T-3X=B\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 2& 1 \\ -3& 0 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4\\ 0 & 5 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A*B\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ -2& 1 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4\\ -2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

\(Y=B*A\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ -2& 1 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\)a \(B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4\\ -2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\)

\(X=A^3-3A^2+2A-E\) kde: \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

4. Ve čtvrté lekci si vysvětlíme, co znamená pojem inverzní matice, jak se značí a naučíme se ji vytvářet. Začneme s malými maticemi (2,2), ke kterým se naučíme sepsat matici inverzní pomocí dvou jednoduchých pravidel:

\(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{pmatrix}\)

\(B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2& 2 \\ \end{pmatrix}\)

Budeme pokračovat složitějšími příklady, kde se objeví větší matice (3,3) a způsob vytvoření matice inverzní se již bude lišit. Naučíme se, jak sestavit tzv. adjungovanou matici, kterou k tvorbě matice inverzní budeme potřebovat:

\(A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1\\ 2 & 2 & 1 \\5 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\)

5. V páté lekci budeme pokračovat v inverzních maticích. Na začátku si dáme příklad na inverzní matici (3,3) a poté se přesuneme ke složitější úloze, která bude obsahovat parametr a:

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 1 & -1 \\1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5\\ 6 & -7 & 3 \\-14 & a & 1 \\ \end{pmatrix}\)

6. V šesté lekci si představíme, jak vypočítat inverzí matici pomocí Jordanovy metody. Začneme s malou maticí 2 x 2 a poté si vyzkoušíme i větší matici 3 x 3.

\(\left(\begin{matrix}3&1\\4&2\\\end{matrix}\right)\)

\(\left(\begin{matrix}4&2&1\\2&2&1\\5&1&2\\\end{matrix}\right)\)

7. V sedmé lekci se naučíme, jak použít inverzní matici při výpočtu soustavy rovnic. To už sice umíte pomoci Gaussovy i Jordanovy metody, tady je však ještě jeden způsob, jak zjistit řešení soustavy rovnic, a to pomocí inverzní matice. Ukážeme si to opět na příkladu:

\(x+2y+3z=2\)
\(2x-y+5z=-5\)
\(3x+y-4z=9\)

8. V osmé lekci začneme nové téma, a tím jsou maticové rovnice. Zezačátku si povíme trochu teorie s hlavním důrazem na násobení rovnic zprava a zleva a poté se už pustíme do příkladů, kdy budeme hledat neznámou matici X:

\(XA=B, X=?\) kde \(A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{pmatrix}\) a \(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\)

\(AX-B=C, X=?\) kde \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 3 \\ \end{pmatrix}\) a \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix}\) a \(C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}\)

9. V deváté lekci navážeme na lekci předchozí a budeme pokračovat v maticových rovnicích. Příklady však budou o dost složitější, jelikož neznámá matice X nepůjde tak jednoduše vyjádřit z rovnice a budeme ji tak muset vytknout:

\(XA-3B=2X+A, X=?\) kde \(A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix}\) a \(B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 0 \\ \end{pmatrix}\)

\(AX+3X=B, X=?\) kde \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 3 \\ \end{pmatrix}\) a \(B = \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ -8 & -4 \\ \end{pmatrix}\)

\(3A-XB=2X+B, X=?\) kde \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ \end{pmatrix}\) a \(B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 6 & 0 \\ \end{pmatrix}\)