Soustavy rovnic

O kurzu

1. V první lekci budeme počítat soustavy rovnic. Bude se jednat o 3 rovnice o 3 neznámých a my se je naučíme vyřešit metodami z lineární algebry. Mohou nastat celkově tři situace, a to, že soustava bude mít jedno řešení, žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení. Všechny tyto tři situace si ukážeme na těchto příkladech:

\(x+2y+3z=2\\ 2x-y+5z=-5\\ 3x+y-4z=9 \)

\(5x-y+2z=1\\ 3x+5y-z=2\\ 2x-6y+3z=4 \)

\(x+y+2z=6\\ 3x+7y-4z=16\\ x+5y-8z=4 \)

Na závěr první lekce si ještě ukážeme záludný příklad, v němž se na konci řešení vyskytuje číslo nula a vysvětlíme si, co je výsledkem takového příkladu.

2. V druhé lekci budeme i nadále počítat soustavy rovnic, tentokrát si však ukážeme Jordanovu metodu. Budeme mít stejný příklad jako v předchozí lekci, jen si jej vyzkoušíme vypočítat jinou metodou. Schválně, jestli dospějeme ke stejnému výsledku.

\(x+2y+3z=2 \)
\(2x-y+5z=-5\)
\(3x+y-4z=9\)

3. Ve třetí lekci budeme probírat Frobeniovu větu. Vysvětlíme si k čemu se používá a jaký vliv má hodnost krátké a rozšířené matice na počet řešení soustavy rovnic. Budeme trénovat na těchto příkladech:

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \mid 1\\ 2 & 1 & 2 \mid 1 \\ 4 & 5 & 8 \mid 2 \\ \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \mid 0\\ 2 & -1 & 1 \mid 3 \\ 3 & 1 & -1 \mid 5 \\ \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \mid0 \\ 1 & 1 & -2 \mid0 \\ 2 & 3 & 1 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

Jako obvykle si ukážeme i příklad s parametrem a. Budeme odpovídat na otázky typu kolik řešení má soustava rovnic vzhledem k parametru a:

Pro které a soustava nemá řešení? \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \mid0 \\ 2 & -2 & a \mid a \\ 0 & 1 & 1 \mid a \\ \end{pmatrix}\)

Pro které a má soustava jedno řešení? \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \mid0 \\ 2 & 2 & a \mid a \\ 0 & 1 & 1 \mid a \\ \end{pmatrix}\)

4. Ve čtvrté lekci si vysvětlíme pojem homogenní soustavy rovnic. Ukážeme si, v čem se liší od obyčejných soustav rovnic a řekneme si, co je takzvané triviální řešení. Procvičíme si to na těchto příkladech:

\(-x+3y+2z=0\\ 3x+2y-3z=0\\ 3x+5y-z=0 \)

\(\begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \mid0 \\ 3 & -1 & -3 \mid0 \\ 1 & 1 & 3 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \mid0 \\ 4 & 2 & -6 \mid0 \\ 6 & 3 & -9 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

Vyzkoušíme si také příklady s parametrem a:

Pro které a má soustava jedno triviální řešení? \(\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2a \mid0 \\ 1 & -1 & 2 \mid0 \\ 2 & -4 & 5 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)

Pro které a má soustava nekonečně mnoho řešení? \(\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2a \mid0 \\ 1 & -1 & 1 \mid0 \\ 4 & 6 & 3 \mid0 \\ \end{pmatrix}\)