Vektory

O kurzu

1. V první lekci si probereme stěžejní teorii k celé lineární algebře. Naučíme se, kde je v matici hlavní diagonála a jak matici upravit pomocí tzv. Gaussovy eliminace. Také si vysvětlíme pravidla, jak se do matice jednotlivé vektory zapisují a jaké operace s vektory můžeme provádět. Gaussovu eliminaci si vyzkoušíme na tomto příkladu:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & 7 \\ -3 & 2 & 5 \\ \end{pmatrix}\)

Poté si vysvětlíme dva důležité pojmy - lineární závislost a lineární nezávislost a naučíme se určovat, jak poznat, zda jsou vektory lineárně závislé či nikoli.

2. V druhé lekci si procvičíme na příkladech určování lineární závislosti a nezávislosti. Vyzkoušíme si to na těchto maticích:

\( \begin{pmatrix} 4 & -5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 14 & 18 \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ -3& 2 & 1 & 4\\ 3 & -1 & 3 & 2\\ \end{pmatrix}\)

Také si ukážeme, jak zjistit lineární závislost či nezávislost vzhledem k libovolnému parametru a:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & a \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} a & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & -2a \\ \end{pmatrix}\)

3. Ve třetí lekci budeme probírat pojem hodnost. Budeme určovat hodnosti následujících matic:

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 5 & 11 & -3 \\ 4 & 7 & -1 \\ \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & -8 \\ 3 & 7 & -2 & -1 \\ 10 & 22 & 8 & -18 \\ \end{pmatrix}\)

Rovněž si ukážeme i příklad s parametrem, kdy nyní bude otázkou, jaká je hodnost matice v závislosti na parametru a:

\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -a & a \\ 2 & -2 & a^2+1 \\ \end{pmatrix}\)

4. Ve čtvrté lekci si probereme lineární kombinace. Vysvětlíme si, co tento pojem znamená a jak zjistit, zda je daný vektor lineární kombinací zbývajících vektorů. Ukážeme si následující příklady:

Je vektor \(\overrightarrow{v}(0,-1,3)\) lineární kombinací vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(-1,-1,2), \overrightarrow{u_{2}}(2,1,1), \overrightarrow{u_{3}}(1,0,3)\)?

Je vektor \(\overrightarrow{v}(2,1,-3)\) lineární kombinací vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(1,1,0), \overrightarrow{u_{2}}(0,1,1), \overrightarrow{u_{3}}(1,0,1)\)?

Spočítáme si i příklad s parametrem a:

Pro které a je vektor \(\overrightarrow{v}(a,3)\) lineární kombinací vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(-2,4), \overrightarrow{u_{2}}(1,-2)\)?

Pro které a je vektor \(\overrightarrow{v}(4,9,a)\) lineární kombinací vektorů \(\overrightarrow{u_{1}}(2,1,4), \overrightarrow{u_{2}}(-3,2,-1), \overrightarrow{u_{3}}(0,7,10)\)?