Definiční obor a obor hodnot

Definiční obor funkce je množina všech hodnot (čísel), kterých může proměnná \(x\) nabývat. Definiční obor funkce, kterou si pojmenujeme \(f\), budeme značit \(D(f)\). Kdybychom si funkci pojmenovali jinak, například \(brrr\), tak její definiční obor budeme značit \(D(brrr)\). Uveďme si dva příklady.

a) Funkce \(f(x)=\sqrt x\) má definiční obor \(D(f)=\langle0;\infty)\), protože pod sudou odmocninu můžeme dosazovat pouze čísla větší nebo rovná nule.

Poznámka: Funkci \(f(x)=\sqrt x\) můžeme také zapsat jednoduše jako \(y=\sqrt x\). Tohoto zjednodušení budeme často využívat.

b) Funkce \(f(x)={1\over x}\) má definiční obor \(D(f)=(-\infty;0)\cup(0;\infty)\). Protože nulou nelze dělit, nemůžeme ji za \(x\) dosadit a tedy nepatří do definičního oboru.

Obor hodnot funkce \(f\) je množina všech přípustných \(y\) a značíme ho \(H(f)\). Výše jsme si řekli, že proměnná \(y\) je závislá na proměnné \(x\). Tudíž obor hodnot bude také vždy záviset na předpisu funkce.

Uveďme si další dva příklady:

a) Funkce \(f(x)=-|x|\) má obor hodnot \(H(f)=(-\infty;0\rangle\). Proč? Absolutní hodnota má tu vlastnost, že veškerá čísla přemění na kladná. Kromě nuly, ta zůstane nulou. Takže ať za \(x\) dosadíme cokoliv, vždy nám vyjde \(y\geq0\). Před absolutní hodnotou je však ještě mínus, které pro změnu ze všech kladných hodnot, které nám vyšly z absolutní hodnoty, udělá záporné. Takže nakonec \(y\leq0\), což odpovídá \(H(f)=(-\infty;0\rangle\).

b) Funkce \(f(x)=x^2\) má obor hodnot \(H(f)=\langle0;\infty)\), protože libovolné číslo (kromě nuly) umocněné na druhou je vždy kladné. Například po dosazení hodnoty \(-2\) za proměnou \(x\) dostaneme \(y=(-2)^2=4\). Z toho vyplývá, že ať za \(x\) dosadíme cokoliv, \(y\) nám nikdy nevyjde záporné.

Funkcí existuje celá řada a dají se rozlišovat podle svých vlastností a funkčních předpisů. My si je v následujících článcích postupně všechny probereme, naučíme se je poznávat podle grafů a rozlišovat podle vlastností.